1.

Ta có:

1/2 < 2/3

3/4 < 4/5

.............

99/100 < 100/101

=> 1/2*3/4*5/6*...*99/100 < 2/3*4/5*6/7*...*100/101

=> A < B

2.

\(A\cdot B=\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{99}{100}\right]\cdot\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot...\cdot\frac{100}{101}\right]\)

\(A\cdot B=\frac{\left[1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot...\cdot99\right]\left[2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot...\cdot100\right]}{\left[2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot...\cdot100\right]\left[3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot...\cdot101\right]}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot99}{3\cdot5\cdot7\cdot...\cdot101}=\frac{1}{101}\)

3.

Vì A < B => A.A < A.B => A² < 1/101 < 1/100

Mà A² < 1/100 <=> A² < \(\frac{1}{10}^2\)=> A < 1/10

a.

\(3\equiv1\left(mod2\right)\\ \Rightarrow3^{101}\equiv1\left(mod2\right)\\ \Rightarrow3^{101}-1\equiv0\left(mod2\right)\\ \Rightarrow3^{101}-1⋮2\)

b.

\(5\equiv1\left(mod4\right)\\ \Rightarrow5^{101}\equiv1\left(mod4\right)\\ \Rightarrow5^{101}-1\equiv0\left(mod4\right)\\ \Rightarrow5^{101}-1⋮4\)

c.

\(3\equiv-1\left(mod4\right)\\ \Rightarrow3^{101}\equiv-1\left(mod4\right)\\ \Rightarrow3^{101}+1\equiv0\left(mod\right)4\\ \Rightarrowđpcm\)

\(A=1+4+4^2+...+4^{2012}=\left(1+4+4^2\right)+4^3\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2010}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21+21.4^3+...+21.4^{2010}=21\left(1+4^3+...+4^{2010}\right)⋮21\)

\(B=1+7+7^2+...+7^{101}=\left(1+7\right)+7^2\left(1+7\right)+...+7^{100}\left(1+7\right)\)

\(=8+7^2.8+...+7^{100}.8=8\left(1+7^2+...+7^{100}\right)⋮8\)

nhỏ hơn hỗn số á

 Ko ghi nhầm mà không xóa được thôi nhỏ hơn 1/104²

Đang ko biết làm thế nào đây

bài này không thể làm được vì hai vế không bằng nhau :D. Tác giả nên xem lại đề bài\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{99}=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\)

Bên trái là  tổng xích ma  \(\left(-1\right)^{x+1}.\frac{1}{x}\)với x chạy từ 1 đến 99

Bên phải là tổng xích ma \(\frac{1}{x}\)với x chạy từ 101 tới 200

dùng máy tính casio fx bấm 2 tổng thấy 2 kết quả lệch ngay từ số thập phân thứ ba

nếu là thế này thì mới làm được

\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\)

ta làm như sau: Biến đổi vế trái ta có

\(VT=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{199}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)\(-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+...+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)

=\(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}=VP\)

=