\(A=1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2015}\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{2012}+3^{2013}+3^{2014}+3^{2015}\right)\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{2012}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)\left(1+3^4+...+3^{2012}\right)\)

\(=40\left(1+3^4+...+3^{2012}\right)\)\(⋮\)\(5\)

\(B=2+2^2+2^3+...+2^{2016}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}+2^{2016}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+..+2^{2013}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=\left(1+2+2^2+2^3\right)\left(2+2^5+...+2^{2013}\right)\)

\(=15\left(2+2^5+...+2^{2013}\right)\)\(⋮\)\(15\)

ta có: S=( 3¹+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶)+...+3²⁰¹⁶

S= 3¹(1+3+3²+3³+3⁴+3⁵) +...+ 3²⁰¹¹(1+3+3²+3³+3⁴+3⁵)

S= 3¹.364+...+ 3²⁰¹¹.364

S= 364. ( 3¹+...+3²⁰¹¹ )

S= 26.14.(3¹+...+3²⁰¹¹) chia hết cho 26

vậy S chia hết cho 26

A = 3¹ + 3² +3³ + 3⁴ +.....+3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶

A = (3¹ + 3²) +(3³ + 3⁴) +.....+ (3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶)

A = 3(1+3) + 3²(1+3) + .....+ 3²⁰¹⁵(1+3)

A = 3.4 +3².4 +....... + 3²⁰¹⁵.4

A = 4(3 +3² +....+ 3²⁰¹⁵) chia hết cho 4

===================================================

A =3¹ + 3² +3³ + 3⁴ + 3⁵ +3⁶ +.....+3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶

A = (3¹ + 3² +3³ ) +(3⁴ + 3⁵ +3⁶) +.....+ (3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶)

A = 3(1+3+3²) + 3⁴(1+3+3²) + .....+ 3²⁰¹⁴(1+3+3²)

A = 3.13 +3⁴.13 +....... + 3²⁰¹⁴.13

A = 13.(3 +3⁴ +....+ 3²⁰¹⁴) chia hết cho 13

 Ta có A = [ (- 1) + 2 ] + [ (- 2) + 3 ) ] + [ (-3) + 4 ] + ..... + [ (- 2015) + 2016 ]

= 1 + 1 + 1 + ..... + 1 ( có [ ( 2016 - 1 ) + 1 ] : 2 = 1008 chữ số 1 )

= 1x1008 = 1008

Vì 1008 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 ( điều phải chứng minh )

a) Đặt biểu thức trên là A, ta có:

A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

=> A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

=> A = 2¹.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁹⁹.(1 + 2)

=> A = 2¹.3 + 2³.3 + ... + 2⁹⁹.3

=> A = 3(2¹ + 2³ + ... + 2⁹⁹)

=> A ⋮ 3

\(26=13.2\)

\(s=3.\left(1+3+9\right)+3^4.\left(1+3+9\right)+....+3^{2012}.\left(1+3+9\right)\)

\(s=3.13+3^413+.....+3^{2012}.13\)

\(s=13.\left(3+3^4+....+3^{2012}\right)\)

\(\Rightarrow s=3.\left(1+3\right)+3^3.\left(1+3\right)+.......+3^{2015}.\left(1+3\right)\)

\(s=3.4+3^3.4+....+3^{2015}.4\)

\(s=4.\left(3+3^3+.....+3^{2015}\right)\)

\(\Rightarrow4⋮2\Rightarrow4.\left(3+3^3+....+3^{2015}\right)⋮2\)

\(\Rightarrow s⋮2\Leftrightarrow s⋮13\)

\(\Rightarrow s⋮\orbr{\begin{cases}13\\2\end{cases}}\Leftrightarrow s⋮26\)

b)  \(A=2^1+2^2+2^3+....+2^{100}\)

\(=2^1+\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=1+2^2\left(1+2+2^2\right)+2^5\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=1+\left(1+2+2^2\right)\left(2^2+2^5+...+2^{98}\right)\)

\(=1+7\left(2^2+2^5+...+2^{98}\right)\)

Nhận thấy:  \(7\left(2^2+2^5+...+2^{98}\right)\)\(⋮\)\(7\)mà  1 chia 7 dư 1

=>  A  chia 7 dư 1

chia cho mấy mới làm chớ

phân tích số 26=13.2

ghép 3 số hạng ta được:3(1+3+9)+3^4(1+3+9)+...+3^2012(1+3+9)

                                   =3.13+3^4.13+...+^2012.13

                                   =13(3+3^4+...+3^2012)

vậy dãy số đó chia hết cho 13.

ghép 2 số hạng ta được:3(1+3)+3^3(1+3)+...+3^2015(3+1)

                                  =3.4+3^3.4+...+3^2015.4

                                  =4(3+3^3+...+3^2015)

 vậy dãy số đó chia hết cho 2.

vì dãy số đó chia hết cho cả 2 và 13.

vậy dãy số đó chia hết cho 26.