Em vào mục câu hỏi tương tự nhé !

không có ạ

Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

a. Xét hiệu $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi $(a-b)^2=0$ hay $a=b$.

b.

Xét hiệu $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}$

$=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Dấu "=" xảy ra khi $a-b=0$ hay $a=b$ 

t nói trước đây là bài làm rất xàm nên đừng tin nhé,spam đấy!

Không mất tính tổng quát giả sử \(c\ge0\)

\(a=c+x+y;b=c+y;c=c\)

Ta cần chứng minh \(A=f\left(x;y;c\right)=\left[\left(c+x+y\right)^2+\left(c+y\right)^2+c^2\right]\left[\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right]\ge\frac{9}{2}\)

\(\ge\frac{\left(3c+x+y\right)}{3}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)=T\left(x;y;c\right)\)

Xét hiệu \(T\left(x;y;c\right)-T\left(x;y;0\right)=c\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\ge0\)

Nên \(T\left(x;y;c\right)\ge T\left(x;y;0\right)=\frac{1}{3}\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{3}\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\ge\frac{9}{2}\)

...

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1+b^2+1+a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^3b+ab^3+2ab+2\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)

\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3-2a^2b^2-a^2-b^2+2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng với mọi \(a\ge1;b\ge1\) mà các biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

                Ta có: \(b-a=2\)

                     \(\Rightarrow b=a+2\)

            Biểu thức trở thành:    \(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2}=\frac{2}{143}\)

                                        \(\Leftrightarrow\frac{a+2-a}{a\left(a+2\right)}=\frac{2}{143}\)

                                        \(\Leftrightarrow\frac{2}{a\left(a+2\right)}=\frac{2}{143}\)

                                        \(\Leftrightarrow2\cdot143=2a\left(a+2\right)\)

                                        \(\Leftrightarrow2a^2+4a-286=0\)

                                        \(\Leftrightarrow a^2+2a-143=0\)

                                        \(\Leftrightarrow a^2+13a-11a-143=0\)

                                        \(\Leftrightarrow a\left(a+13\right)-11\left(a+13\right)=0\)

                                        \(\Leftrightarrow\left(a+13\right)\left(a-11\right)=0\)

              +) \(a=-13\Rightarrow b=a+2=-13+2=-11\)(loại vì \(a,b\notin N\))

              +) \(a=11\Rightarrow b=a+2=11+2=13\)  (Nhận)

                               Vậy cặp \(\left(a,b\right)\)cần tìm là \(\left(11,13\right)\)