cho a>0, b>0 .Cm
\(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}\ge5\sqrt[5]{ab}\)
Chứng minh rằng \(2\sqrt{\frac{a}{b}}+3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\ge5\forall a,b>0\)
(Cô có cho tớ gợi ý: Sử dụng BĐT Cô-si)
a/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được
abc+bca≥2√abc.bca=2cabc+bca≥2abc.bca=2c
Tương tự
abc+cab≥2babc+cab≥2b
bca+cab≥2abca+cab≥2a
Cộng các vế của BĐT
2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)
↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c
b/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được
abc+bca≥2√abc.bca=2babc+bca≥2abc.bca=2b
Tương tự
abc+cab≥2aabc+cab≥2a
bca+cab≥2cbca+cab≥2c
Cộng các vế của BĐT
2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)
↔abc+bca+cab≥a+b+c
CM \(\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\dfrac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=a-b\) (a > 0; b > 0)
Bài 1 : Cho \(a\ge1;b\ge1\)
\(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\)\(\le1\)
Bài 2 : Cho x, y thỏa mãn x + y = \(\dfrac{5}{4}\)
CMR : \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{4y}\ge5\)
Bài 3 : Cho a > 0. CMR : \(a^2+\dfrac{2}{a^3}\ge\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\)
1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A
\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(A\le1\left(đpcm\right)\)
Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)
Bài 2:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel có:
\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{4y}=\dfrac{4^2}{4x}+\dfrac{1}{4y}\ge\dfrac{\left(4+1\right)^2}{4\left(x+y\right)}=\dfrac{25}{5}=5\)
Dấu " = " khi x = y = \(\dfrac{5}{8}\)
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Hmm giúp xem nào .-.
Cho `a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3`
`CM:1/(4-sqrt{ab})+1/(4-\sqrt{bc})+1/(4-\sqrt{ca})<=1`
Có \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}\le\dfrac{1}{4-\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}=\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\), \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}\)
Đặt \(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;c^2+a^2\right)=\left(x;y;z\right)\)
Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z,y,z>0\end{matrix}\right.\) (1)
Đặt VT của bđt là A
Có \(A=\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2x}}+\dfrac{2}{8-\sqrt{2y}}+\dfrac{2}{8-\sqrt{2z}}\)
Ta cm bđt phụ: \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2x}}\le\dfrac{1}{36}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{3}\)
Thật vậy bđt trên tương đương \(\dfrac{6}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{8-\sqrt{2x}}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{1}{36}\left(x-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}{36}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left[\dfrac{\sqrt{2}.12}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\left(8-\sqrt{2x}\right)}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)^2.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\sqrt{2}\right)}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}\le0\) (*)
Từ (1) ta có \(x\in\left(0;6\right)\) nên bđt phụ trên luôn đúng
Tương tự ta cũng có \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2y}}\le\dfrac{1}{36}\left(y-2\right)+\dfrac{1}{3}\) , \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2z}}\le\dfrac{1}{36}\left(z-2\right)+\dfrac{1}{3}\)
Từ đó => \(A\le\dfrac{1}{36}\left(x+y+z-6\right)+1=\dfrac{1}{36}\left(6-6\right)+1=1\) (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x=y=z=2 <=> a=b=c=1
Câu 1 : Rút gọn biểu thức
a, \(\frac{2}{5}\sqrt{75}-0,5\sqrt{48}+\sqrt{300}-\frac{2}{3}\sqrt{12}.\)b, \(\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}+\frac{3}{3+3\sqrt{6}}.\)
c\(\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}.\)Với a>0;b>0
Chứng minh :
a) \(\dfrac{3x}{2y}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{5}}-\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}.\left(\dfrac{\sqrt{x}}{y}+\sqrt{\dfrac{3}{5x}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\)
b)\(ab.\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\) , với a ; b > 0
c) \(\left(\dfrac{3}{a}\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4}{ab}}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right):\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=3a-2b-1\) với a, b >0
d)\(\left(\sqrt{\dfrac{16a}{b}}+3\sqrt{4ab}-a\sqrt{\dfrac{36b}{a}}+2\sqrt{ab}\right):\left(\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)=2\) Với a, b >0
Mọi người giúp tớ với ạ !!!!!! Mình thật sự cần gấp vào ngày mai !!!!
b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)
\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=0=VP\)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn: abc=1. CM: \(\dfrac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\le\dfrac{3}{2}\)
Cho a,b,c >= 0
CMR a, a+b+c >= \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
b, Cho a,b >0 Cm \(\sqrt{a}+\sqrt{b}< \frac{3}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\)