cho a,b,c,d là các số dương. cmr
a, \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}\frac{d}{d+a+b}< 2\)
b, \(2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3\)
Cho a,b,c,d là 4 số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Bunyakovsky dạng phân thức
Theo bất đẳng thức Svacxo :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
cho a;b;c;d là các số nguyên dương
CMR:
\(1
Cho a,b,c,d là các số dương.
CMR: \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
Ta có :
\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\) (1)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)( Cộng mỗi phân số vs 1 )
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\) (2)
Với a ,b ,c ,d là các số dương , áp dụng BĐT Svacsơ , ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\\\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\end{cases}}\)
Suy ra : \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{4\left(a+c\right)+4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(1\right)\)( Điều cần CM )
Cho a,b,c,d là các số dương. CMR:
\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(Để\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
Thì \(\frac{a-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+d}+1+\frac{c-d}{d+a}+1+\frac{d-a}{a+b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(Cần phải chứng minh)
Ta có : \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)=4\)(Áp dụng Cô-si dạng phân thức)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)(Đpcm)
Học tốt ~~
Cho a,b,c,d là các số dương . Tìm GTNN của biểu thức :
\(M=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
cái này mà là của lớp 3 à. Sao khó thế
cái này ít nhất cũng phải lớp 6 lớp 7
Đặt \(S=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac+ad}+\frac{b^2}{bc+bd+ab}+\frac{c^2}{cd+ac+bc}+\frac{d^2}{ad+bd+cd}\)
Theo Svac-xơ thì \(S\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Ngoài ra ta có : \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab;a^2+c^2\ge2ac;a^2+d^2\ge2ad\\b^2+c^2\ge2bc;b^2+d^2\ge2bd;c^2+d^2\ge2cd\end{cases}}\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)
Đặt \(P=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{b}+\frac{b}{d}\right)+\left(\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\)
\(\ge2.6=12\)
\(\Rightarrow M=S+P\ge\frac{5}{6}+12=12\frac{5}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d
Cho a, b, c, d là các số thực dương. CMR :
a) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
b) \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
các bạn ơi giúp mình với
cho a,b,c,d là các số nguyên dương
cmr \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\ge\frac{4}{3}\)
đpcm<=>(\(\frac{a}{b+c+d}\)-\(\frac{1}{3}\))+(\(\frac{b}{a+c+d}\)-\(\frac{1}{3}\))+(\(\frac{c}{a+b+d}\)-\(\frac{1}{3}\))+(\(\frac{d}{a+b+c}\)-\(\frac{1}{3}\))\(\ge\)0
Xét giá trị của các dấu ngoặc,dễ thấy chúng đều lớn hơn hoặc bằng 0
Vậy thì bất đẳng thức trên là đúng hay đpcm là đúng
khoannnnnnnn, bn: Lê Hồ Trọng Tín ơi:
nếu a=1,b=2,c=1,d=1 thì: \(\frac{1}{2+1+1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\ge0???\)
mọe, t-i-k đúng nhầm :(((
Bài 1: Cho a,b,c,d dương CMR: 1<\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{a+b+d}\)<2
Bài 2:CMR:Nếu a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)<2
Bài 1:Với a,b,c,d dương
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}
Cho a,b,c,d>0. CMR nếu \(\frac{a}{b}< 1\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau
a)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
b)\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
c)\(2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3\)
Từ \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\)
\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\Leftrightarrow ac< bc\Leftrightarrow a< b\) (đúng với giả thiết)
a/ Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\) ; \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=2\)
b/ \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Mặt khác:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{b+c+d+a}\) ...
Bạn tự làm nốt
c/ Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\) làm tương tự 3 cái còn lại
Cộng lại sẽ ra BĐT bên trái
Sau đó \(\frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}\) làm tương tự với 3 cái còn lại rồi cộng lại ra BĐT bên phải