Lời giải:
$x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020$

$\Leftrightarrow x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)=2020$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)+y(y-1)(y+1)+z(z-1)(z+1)=2020$
Vì $x,x-1,x+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên $x(x-1)(x+1)\vdots 6$

Tương tự: $y(y-1)(y+1), z(z-1)(z+1)\vdots 6$

$\Rightarrow x(x-1)(x+1)+y(y-1)(y+1)+z(z-1)(z+1)\vdots 6$

Mà $2020\not\vdots 6$ nên không tồn tại 3 số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn đk đã cho.

Giả sử có tồn tại một số n^2000 +1 chia hết cho 10

=> n^2000+1 chia hết cho 2 và 5 

* do n^2000+1 chia hết cho 5 => n^2000 có tận cùng là 4 hoặc 9

TH1 n^2000 có  tận cùng là 9 

do 2000 chia hết cho 4 => n^2000 có cùng số tận cùng với n^4 => n^4 có tận cùng là 9 => n lẻ 

nếu n có tận cùng là 1=> n^4 có tận cùng là 1 => loại 

nếu n có tận cùng là 3 => n^4 có tận cùng là 1=> loại 

nếu n có tận cùng là 5 => n^4 có tận cùng là 5 => loại 

nếu n có tận cùng là 7 => n^4 có tận cùng là 1 => loại 

nếu n có tận cùng là 9=> n^4 có tận cùng 1=> loại

vậy n ko tận cùng là 9 

th2 ; n ^2000  có tận cùng là 4 => n ^2000 chẵn => n^2000+1 lẻ => n^2000 +1 ko chia hết cho 2 => loại

vậy giả sử sai . ko tồn tại số n^2000 + 1 chia hết cho 10

\(n^{2000}+1=\left(n^{1000}\right)^2+1\)

Vì các số bình phương có tận cùng bằng 0,1,9,6,5;4 mà tận cùng băng 9 thì (n^1000)^2 + 1 tận cùng 10 chia hết cho 10 

Vậy có tồn tại ( l ike nha)

Xét tổng (x-2y) + (4y-5z)+ (z+3x)+(-2x+2y-4z)

              =x-2y + 4y-5z +z+3x - 2x+2y-4z

             = (x+3x-2x)+(4y-2y+2y)+(z-5z-4z)

            = 2x+4y-8z

=>tổng trên là số chẵn 

=> /x-2y/+ /4y-5z/+/z+3x/+(-2x+2y-4z) phải là chẵn 

Mà 2017 lẻ nên ko tồn tại...  

Có tồn tại

có tồn tại

có tồn tại