Ta có : 243 chia hết cho 9 => 243a chia hết cho 9 (a thuộc N)

           657 chia hết cho 9 => 657b chia hết cho 9 (b thuộc N)

Từ 2 điều trên => 243a + 657b chia hết cho 9 (a, b thuộc N)

243a+657b =9( 27a+ 73b) chia het cho 9

Vì 243 chia hết cho 9 nên 243*a chia hết cho 9

Vì 657 chia hết cho 9 nên 657*b chia hết cho 9

=>243*a+657*b chia hết cho 9

Vậy 243*a+657*b chia hết cho 9 với mọi a,bEN

Vì 70 chia hết cho x, 80 chia hết cho x nên x thuộc ƯC( 70,80 )

70=2.5.7

80=2⁴.5

\(\Rightarrow\)ƯCLN(70,80)= 2.5=10

\(\Rightarrow\) x \(\in\) Ư(70,80) 

Ư(70,80)={1; 2; 5; 7; 10; ...}

Vì x>8 nên x=10.

Bài toán giải như sau :

70 chia hết cho x ; 80 chia hết x nên x thuộc ƯC (70 ; 80)

Phân tích ra thừa số nguyên tố :

70 = 2.5.7

80 = 2.2.2.2 .5

UWCLN (70 ; 80) =2.5 =10

Ư (70 ; 80)               Ư(70;80) = {1;2;5;7;10;...}

Vì x > 8 nên x=10

Ta có: \(\overline{abc}⋮37\Leftrightarrow100a+10b+c⋮37\)(1)

+) (1) => \(10\left(100a+10b+c\right)⋮37\)

<=> \(100b+10c+a+999a⋮37\) mà \(999a=37.27a⋮37\)

=> \(100b+10c+a⋮37\Leftrightarrow\overline{bca}⋮37\)

+) (1) => \(100\left(100a+10b+c\right)⋮37\)

<=> \(\left(100c+10a+b\right)+999\left(10a+b\right)⋮37\)mà \(999\left(10a+b\right)=37.27\left(10a+b\right)⋮37\)

=> \(\overline{cab}=100c+10a+b⋮37\)

a) Ta có:

\(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì trong 3 số nguyên liên tiếp, có ít nhất 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 nên tích n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 hay \(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6(đpcm).

b) Ta có:

\(20^{n+1}-20^n=20^n\cdot19\)

Vì \(20^n\) là số nguyên nên \(20^n\cdot19⋮19\). Hay \(20^{n+1}-20^n⋮19\left(đpcm\right)\)

113+4 chia hết cho 13

Gọi n \(\in\)N . Ta có : 

113-104=9 . Mà 104 chia hết cho 13 => 9+ 13n + 4 chia hết cho 13 

=> x=13n+4

113+ x chia hết cho 13                                                                                                                                                                      \(\Rightarrow\) 113 + 4 + x chia hết cho 13                                                                                                                                                       \(\Rightarrow\) x = 4                                                                                                                                                                             \(\Rightarrow\) 113 + 4 chia hết cho 13

Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6.

BCNN (3, 4, 5, 6) = 60 nên x + 2 = 60n.

Do đó x = 60n - 2 (n = 1, 2, 3, ...).

Ngoài ra x phải là số nhỏ nhất có tính chất trên và x phải chia hết cho 13.

Lần lượt cho n bằng 1, 2, 3, ... ta thấy đến n = 10 thì x = 598 chia hết cho 13.

Vậy số tự nhiên đó là 598

\(\text{Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6.}\)

BCNN (3, 4, 5, 6) = 60 nên x + 2 = 60n.

Do đó x = 60n - 2 (n = 1, 2, 3, ...).

Ngoài ra x phải là số nhỏ nhất có tính chất trên và x phải chia hết cho 13.

Lần lượt cho n bằng 1, 2, 3, ... ta thấy đến n = 10 thì x = 598 chia hết cho 13.

Vậy số tự nhiên đó là 598

Gọi số đó là a

Ta có : a chia 3 dư 1

          a chia 4 dư 2

          a chia 5 dư 3                                     => a - 2 chia hết cho 3,4,5,6,13

          a chia 6 dư 4

=> a - 2 \(\in BC\left(3,4,5,6,13\right)\)

Mà 4 = 2²                                          6 = 2.3

\(\Rightarrow BCNN\left(3,4,5,6,13\right)=2^2.3.5.13=780\)

\(\Rightarrow a-2=780\)

\(\Rightarrow a=780+2=782\)