2) \(\hept{\begin{cases}^{x^2-xy=y^2-yz}\left(1\right)\\^{y^2-yz=z^2-zx}\left(2\right)\\^{z^2-zx=x^2-xy}\left(3\right)\end{cases}}\)

lấy (2) - (1) suy ra\(2yz=2y^2+xy+xz-x^2-z^2\)

lấy (3) - (1) suy ra \(2xy=zx+yz-z^2+2x^2-y^2\) 

lấy (3) - (2) suy ra \(2zx=xy+yz+2z^2-x^2-y^2\)

cộng lại đc \(yz+xz+xy=0\) do đó \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

1) \(a=x^2-xy=x\left(x-y\right)\ne0\left(x\ne0,x\ne y\right)\)

mik cần c3 , ai làm giúp mik đc ko 

        \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)   (do x+y+z = 2015)

\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

đến đây tự lm nốt nha

\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\\x-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)=\frac{\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=1\\xyz=-1\end{cases}}\).

Ta có : \(x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx\)Cộng 3 vế , suy ra :

 \(x^2-xy+y^2-yz+z^2-zx=0\)\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}< =>x=y=z}\)

Khi đó ta được : \(M=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=1+1+1=3\)( do x=y=z )

Bạn ơi đề bài cho a khác 0 mà bạn

mình tưởng a là 0 nên hơi vội ^-^'

Lời giải:
Từ đkđb suy ra:
$x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}$

$y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}$

$z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=\frac{(y-z)(z-x)(x-y)}{(xyz)^2}$

$\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)(1-\frac{1}{x^2y^2z^2})=0$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=0$ hoặc $1-\frac{1}{x^2y^2z^2}=1$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=0$ hoặc $x^2y^2z^2=1$
Nếu $(x-y)(y-z)(z-x)=0$

$\Rightarrow x=y$ hoặc $y=z$ hoặc $z=x$

Không mất tquat giả sử $x=y$. Khi đó: $\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

$\Rightarrow y=z$

$\Rightarrow x=y=z$. Tương tự khi xét $y=z$ hoặc $z=x$ thì ta cũng thu được $x=y=z$
Vậy $x=y=z$ hoặc $x^2y^2z^2=1$

Ap dụng bất đẳng thức BDT Caucchy Schwarz ta có :

\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)

=> ...............................................

ko khó đâu