Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
soyeon_Tiểubàng giải
Xem chi tiết
Perfect Blue
30 tháng 11 2016 lúc 12:26

Bài này trên gg có

Cường Mạnh
13 tháng 5 2023 lúc 22:16

Ta có: \sqrt[{k + 1}]{{\frac{{k + 1}}{k}}} > 1,\left( {k = \overline {1,n} } \right)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho k + 1 số ta có: 

\begin{matrix}
  \sqrt[{k + 1}]{{\dfrac{{k + 1}}{k}}} = \sqrt[{k + 1}]{{\dfrac{{1 + 1 + .... + 1}}{k}\dfrac{{k + 1}}{k}}} < \dfrac{{1 + 1 + ... + 1 + \dfrac{{k + 1}}{k}}}{{k + 1}} = \dfrac{k}{{k + 1}} + \dfrac{1}{k} = 1 + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} \hfill \\
   \Rightarrow 1 < \sqrt[{k + 1}]{{\dfrac{{k + 1}}{k}}} < 1 + \left( {\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k + 1}}} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Lần lượt cho k = 1, 2, 3, ... rồi cộng lại ta được 

n < \sqrt 2  + \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}} + ... + \sqrt[{n + 1}]{{\frac{{n + 1}}{n}}} < n + 1 - \frac{1}{n} < n + 1 
   \Rightarrow \left| \alpha  \right| = n

QuocDat
Xem chi tiết
Phạm Thùy Dung
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
30 tháng 9 2019 lúc 10:56

Ta có : \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1.1...1}{k}.\frac{k+1}{k}}\)

\(< \frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< 1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại được :
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}< n+1-\frac{1}{n}< n+1\)

Vậy phần nguyên a là n 

Chúc bạn học tốt !!!

Nguyễn Hồng Ngọc
Xem chi tiết
Việt Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Quý
Xem chi tiết
Princess Witch
2 tháng 10 2015 lúc 19:25

Bạn giải được mà,sao còn đăng

Thọ Nguyễn
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
6 tháng 2 2019 lúc 11:03

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4;....;n\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\)số,ta có:

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\le\frac{1+1+1+....+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}\)

\(=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt cho \(k=1;2;3;4;.....n\)rồi cộng lại,ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[5]{\frac{5}{4}}+....+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)

\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)

zZz Cool Kid_new zZz
6 tháng 2 2019 lúc 11:50

Làm lại:))

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4...;n\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số,ta có:

\(1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}\ge\left(k+1\right)\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\)

\(\Rightarrow\frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot....\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}\)

Mà \(\frac{1+1+....1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1+1+1+....+1}{k+1}+\frac{\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt thay \(k=1;2;3;....;n\)rồi cộng lại,ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[4]{\frac{5}{4}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)

\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)

zZz Cool Kid_new zZz
7 tháng 2 2019 lúc 23:05

chữa dòng thứ 3 câu cuối:\(\left(k+1\right)\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\)

Đặng Phương Nga
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
6 tháng 10 2019 lúc 17:39

Dạng tổng quát : \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k+1}}=1\) với k = 1;2;3; ... ; n 

\(\Rightarrow a=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}>n\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho k+1 số dương ta có :

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{1.1.1...1.\frac{k+1}{k}}< \frac{1+1+1...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1.k}{k+1}\) \(+\frac{k+1}{\frac{k}{k+1}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< \frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

Áp dụng vào bài ta được :
\(a< \left(1+\frac{1}{1.2}\right)\left(1+\frac{1}{2.3}\right)\left(1+\frac{1}{3.4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(a< n+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(a< n+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(a< n+\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< n+1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra phần nguyên của a là n 

Nguyễn Thị Minh Nguyệt
Xem chi tiết
phan nguyễn nhật linh
27 tháng 5 2017 lúc 21:19

ko pick mik mới lớp 4

than mau dung
27 tháng 5 2017 lúc 21:24

mình mới lớp 6 thôi

tran quoc huy
25 tháng 2 2018 lúc 21:12

lũ điên méo biết thì đăng làm gì

Phạm Bá Tâm
Xem chi tiết
Nguyễn Đăng Nhân
26 tháng 2 2022 lúc 16:57

 Xét số hạng tổng quát ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào bài tập, ta có:

\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)

Khách vãng lai đã xóa