cho hai đường tròn O và O' tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC , B thuộc (O), C thuộc (O').Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại M.Gọi E là giao điểm của OM và AB,F là giao điểm của O'M và AC.Tính diện tích BCOO' theo R và r
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC
Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'
Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO'. IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C. Do đó IM ⊥ BC.
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
ME.MO = MF.MO'
ME.MO = MA2 (hệ thức lượng trong ΔMAO vuông)
MF.MO' = MA2 (hệ thức lượng trong ΔMAO' vuông)
Suy ra ME.MO = MF.MO'
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) ME.MO = MF.MO’ c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC. d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B thuộc (O), C thuộc(O').Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng :
a/ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b/ ME*MO=MF*MO'
c/ OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
d/ BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
MA và MB là các tiếp tuyến của (O) (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA = MB
MO là tia phân giác của góc AMB
ΔAMB cân tại M (MA = MB) mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao
=> MO ⊥ AB hay ∠MEA = 90o
Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và ∠MFA = 90o
MO, MO' là tia phân giác của hai góc kề bù ∠AMB và ∠AMC nên ∠EMF = 90o
=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).
cho hai tiếp tuyến đường tròn tâm (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B thuộc (O), (C) thuộc (O'). tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoaig BC tại I. a, Cminh góc BAC =90 độ. b,trên tia đối của tía IA lấy điểm D sao cho IA=ID. Tứ giác ABDC là hình gì, vì sao. c, gọi giao điểm của OI và AB là M; giao điểm của O'I và AC là N, chứng minh rằng OM/O'N=OI^3/O'I^3
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D thuộc (O), E thuộc (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt ED tại I. Gọi M là giao điểm của OI với AD, N giao điểm AE với O’I.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Tại sao?
b) CM hệ thức IM.IO = IN.IO’
c) CM OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
d) Tính độ dài DE theo R và R’.
a) Xét (O): AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I (gt)
=> AI = DI (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)
CMTT: AI = EI (TC 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> AI = EI = DI
Mà DE = EI + DI
=>AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)
Xét tam giác ADE có: AI = EI = DI =\(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)
=> Tam giác ADE vuông tại A (định lý đảo đường trung tuyến trong tam giác vuông)
=> ^MAN = 90o
Xét tam giác AID: AI = DI (cmt) => Tam giác AID cân tại I
Mà IM là đường phân giác AID (AI và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I)
=> IM là đường cao
=> ^IMA = 90o
CMTT: ^ANI = 90o
Xét TG AMIN:
^IMA = 90o (cmt)
^ANI = 90o (cmt)
^MAN = 90o (cmt)
=> AMIN là hình chữ nhật (dhnb)
b) Xét tam giác OAI vuông tại A, AM là đường cao ( do AM vg góc OI)
=> IM.IO = IA2 (HTL) (1)
Xét tam giác O'AI vuông tại A, AN là đường cao ( do AN vg góc O'I)
=> IN.IO' = IA2 (HTL) (2)
Từ (1) và (2) => IM.IO = IN.IO’ (đpcm)
c) Xét (O) và (O'): 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A (cmt)
=> A \(\in\)OO' (TC đường nối tâm)
mà IA vg góc AO (do AI là tiếp tuyến trong của 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A )
=> OO' vg góc AI tại A (*)
Xét tam giác ADE vuông tại A (^DAE = 90o do AMIN là hcn)
I là TĐ của DE (do ID = IE = \(\dfrac{DE}{2}\))
=> I là tâm đường tròn đường kính DE, nội tiếp tam giác ADE
=> A \(\in\)(I) (**)
Từ (*) và (**) => OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE có A là tiếp điểm.
d) Xét tg OIO' vuông tại I, AI là đường cao:
AI2 = AO . AO' (HTL)
=> AI2= R. R'
Mà AI = \(\dfrac{DE}{2}\)(cmt)
=> (\(\dfrac{DE}{2}\))2 = R . R'
<=> \(\dfrac{DE^2}{4}\) = R . R'
<=> DE = 2\(\sqrt{R.R'}\)
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài, \(B\in\left(O\right),C\in\left(O'\right)\). Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) ME . MO = MF . MO'
c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'
b)ME.MO = MA2 (hệ thức lượng trong MAO vuông)
MF.MO’ = MA2 (hệ thức lượng trong MAO’ vuông)
Suy ra ME.MO = MF.MO’
c)Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO’ vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).
d)Hình b
Gọi I là trung điểm của OO’, I là tâm của đường tròn có đường kính OO’, IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO’. IM là đường trung bình của hình thang OBCO’ nên IM // OB // O’C. Do đó IM ⊥ BC.
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).