hình :

lời giải :

a) MN cắt ( O ) tại C

dễ thấy O'N vuông góc với AB

Ta có : \(\Delta O'MN\)cân tại O' nên \(\widehat{O'MN}=\widehat{O'NM}\)( 1 )

Mà \(\Delta OMC\)cân tại O nên \(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{O'NM}=\widehat{OCM}\)nên O'N // OC

\(\Rightarrow OC\perp AB\), suy ra C cố định

b) vẽ bán kính \(OC\perp AB\) ( C và M thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB )

CM cắt AB tại N

đường thẳng qua N và song song với OC cắt OM tại O'

Dựng đường tròn ( O';O'M )

đó là đường tròn phải dựng

a. Ta có: \(\widehat{ADB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => \(\widehat{ADE}=90^o\)

Lại có: \(CH\perp AB\)tại H (gt)  mà E \(\in CH\)(do  E là giao điểm của BD và CH (gt)) => \(\widehat{EHA}=90^o\) 

Xét tứ giác ADEH có: \(\widehat{ADE}+\widehat{EHA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADEH nội tiếp (DHNB) => đpcm

b.

Ta có: \(\widehat{ACB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) => \(\Delta ABC\)vuông tại C

=> \(S\Delta ABC=\frac{1}{2}AC\times BC=\frac{1}{2}CH\times AB\)=> CH = \(\frac{AC\times BC}{AB}\)

=> \(AC\times AH+CB\times CH=AC\times AH+CB\times\frac{AC\times BC}{AB}\)= \(AC\times(AH+\frac{BC^2}{AB})=AC\times\frac{(AH\times AB+BC^2)}{AB}\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\)vuông tại C với đường cao CH ta được: AH \(\times AB=AC^2\)(2)

Áp dụng định lý pitago trong \(\Delta ABC\)vuông tại C ta được: \(AC^2+BC^2=AB^2\)(3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta được : \(AC\times AH+CB\times CH=AB\times AC\)(ĐPCM)

c. Gọi K là điểm chính giữa cung AB (K nằm cùng phía với C so với bờ AB) => K là điểm cố định và \(KO\perp AB\)tại O => KO // CH => \(\widehat{KOC}=\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(So le trong)

Nối K với M 

Xét \(\Delta KOM\)và \(\Delta OCH\)có:

+ KO = OC = R

+ \(\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(cmt)

+ OM = CH (gt) 

=> \(\Delta KOM=\Delta OCH\)(c.g.c) => \(\widehat{KMO}=\widehat{OHC}=90^o\Rightarrow\Delta KOM\)vuông tại M => M \(\in(I,\frac{OK}{2})\)cố định (trong đó I là trung điểm của OK)

\(a,\widehat{ACB}=90^0\left(\text{góc nt chắn nửa đg tròn}\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FCI}+\widehat{ICE}=90^0\\\widehat{ICE}+\widehat{ACO}=\widehat{ICO}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{FCI}=\widehat{ACO}\\ OA=OC\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{CAO}\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{CBA}+\widehat{IFC}=90^0\\\widehat{CBA}+\widehat{CAO}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{IFC}=\widehat{CAO}=\widehat{ACO}\\ \Rightarrow\widehat{FCI}=\widehat{IFC}\Rightarrow IF=IC\left(1\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{FCI}+\widehat{ICE}=90^0\\\widehat{IFC}+\widehat{IEC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{ICE}=\widehat{IEC}\Rightarrow IE=IC\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IF=IE\left(đpcm\right)\)

\(b,IE=IF=IC\left(cm\text{ trên}\right)\\ \Rightarrow I\text{ là tâm đường tròn ngoại tiếp }\Delta ECF\\ \text{Mà }OC\perp CI\Rightarrow OC\text{ là tt đtnt }\Delta ECF\)

(Quá lực!!!)

Đầu tiên, hãy CM tam giác \(EAH\) và \(ABD\) đồng dạng.

Từ đó suy ra \(\frac{EA}{AB}=\frac{AH}{BD}\) hay \(\frac{EA}{OB}=\frac{AC}{BD}\).

Từ đây CM được tam giác \(EAC\) và \(OBD\) đồng dạng.

Suy ra \(\widehat{ECA}=\widehat{ODB}\). Do đó nếu gọi \(OD\) cắt \(EC\) tại \(L\) thì CM được \(OD⊥EC\).

-----

Đường tròn đường kính \(NC\) cắt \(EC\) tại \(F\) nghĩa là \(NF⊥EC\), hay \(NF\) song song với \(OD\).

Vậy \(NF\) chính là đường trung bình của tam giác \(AOD\), vậy \(NF\) qua trung điểm \(AO\) (là một điểm cố định) (đpcm)

bn vẽ hình đc chưa

hình mình chưa vẽ đk