Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Cho 3 số thực a,b,c dương thoả mãn \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3\) . Chứng minh:
\(\frac{27a^2}{c\left(c^2+9a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(4a^2+b^2\right)}+\frac{8c^2}{b\left(9b^2+4c^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Bạn có thể tham khảo cách này
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=x\\\frac{2}{b}=y\\\frac{3}{c}=z\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=3\)
BĐT thành \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\left(1\right)\)
ta sẽ dùng Bđt Cói \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại
\(\left(1\right)\ge x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{2}{b}\\z=\frac{3}{c}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=3\end{cases}}\)
Khi đó ta có BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2}\)
Ta cũng có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x\)
\(\ge3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\le x^2+y^2+z^2\)
Chứng minh tương tự ta có: \(xy^2+yz^2+zx^2\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=z\)hay\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\b=3\end{cases}}\)
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
\(a+b+c+\frac{9abc}{ab+bc+ca}\ge4\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{c+b}+\frac{ca}{c+a}\right)\)
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Lời giải:
Ta viết lại biểu thức vế trái:
\(\text{VT}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\left(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{b+c}; \frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{4}{c+a}; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)
Do đó:
\(\text{VT}\geq a.\frac{4}{b+c}+b.\frac{4}{c+a}+c.\frac{4}{a+b}=4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
\(a+b+c+\frac{9abc}{ab+bc+ca}\ge4\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{c+b}+\frac{ca}{c+a}\right)\)
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
\(a+b+c+\frac{9abc}{ab+bc+ca}\ge4\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{c+b}+\frac{ca}{c+a}\right)\)
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
\(a+b+c+\frac{9abc}{ab+bc+ca}\ge4\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{c+b}+\frac{ca}{c+a}\right)\)
CHo các số dương a,b,c. Chứng minh :\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\le4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Bớt 6 ở hai vế BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\frac{\left(8c-a-b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\le\frac{\left(7a+7b-2c\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b+2c\right)\left(a+b-2c\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\left[\frac{7a+7b-2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{8c-a-b}{2abc}\right]+\frac{1}{2}\left(a+b-2c\right)^2\left[\frac{a+b+2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{a+b}{2abc}\right]\ge0\)
Tới phần khó chừa lại cho bạn:V
1/Cho các số thực dương chứng minh:\(\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)
2/Cho a,b dương.Chứng minh:\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\sqrt{2}\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge10\)
3/ Cho các số thực dương. Chứng minh: \(\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ca\right)\left(c^2+2ab\right)\ge abc\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)\)