Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:

\("\) Nếu  \(a,b\)  là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và  \(a.b\)  là một số chính phương thì \(a\)  và  \(b\) đều là các số chính phương  \("\)

Ta có:

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4m^2+m-5n^2-n=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Gọi  \(d\)  là ước chung lớn nhất của  \(m-n\)  và   \(5m+5n+1\)  \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:

\(m-n\)  chia hết cho  \(d\)   \(\Rightarrow\)  \(5\left(m-n\right)\)  chia hết cho  \(d\)

\(5m+5n+1\)  chia hết cho  \(d\)

nên   \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\)  chia hết cho  \(d\)

\(\Leftrightarrow\)   \(10m+1\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(1\right)\)

Mặt khác, từ  \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được:  \(m^2\)  chia hết cho  \(d^2\)

Do đó,  \(m\)  chia hết cho  \(d\)

  \(\Rightarrow\)   \(10m\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\), ta có  \(1\)  chia hết cho  \(d\)  \(\Rightarrow\)  \(d=1\)

Do đó,  \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau  

Kết hợp với  \(\left(\text{*}\right)\)  và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm

Vậy,   \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  đều là các số chính phương.

4m²+m=5n²+n

{=}5m²+m=5n²+n+m²

{=}5(m²-n²)+(m-n)=m²

{=}(m-n)(5m+5n+1)=m²

là sao

sao gì ??????

bạn thi hsg ak bài nay dễ mak

có 4m^2+m=5n^2+n

<=>m-n+5m^2-5n^2=m^2

<=>(m-n)(5m+5n+1)=m^2         (1)

gọi ƯCLN(m-n;5m+5n+1)=d ta c/m d=1

có m-n chia hết d; m,n là các số tự nhiên

<=>5m-5n chia hết d

và có 5m+5n+1 chia hết d

=>10m+1 chia hết d                          (2)

(1)=> m^2 chia hết cho d 

=>m chia hết d (m là số tự nhiên)

=>10m chia hết cho d                        (3)

từ (2),(3)=>1 chia hết cho d

=>d =1                                              (4)

từ (1),(4)=>đpcm.

bài này phải áp dụng kiến thức lớp 6 vào .

mik nhầm chút

(1)=> m^2 chia hết d^2

4m² + m = 5n² + n <=> (5m² - 5n²) + (m - n) = m² <=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m²

<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m²  (1)

Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1) 

=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d

=> m² = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d²

=> m chia hết cho d

lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d

10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d 

=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau    (2)

Từ (1)(2) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương

Ta có:

4m² + m

= 5n² + n

<=> (5m² - 5n²) + (m - n) = m² 

<=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m²

<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m²  (*)

Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1) 

=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d

=> m² = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d²

=> m chia hết cho d

Ta lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d

10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d 

=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau    (**)

Từ (*)(**) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương

hok tốt

Mk muốn giúp bạn lắm nhưng mà chưa học đến, sory nha

4m²+m=5m²+n suy ra m= 5m²+n-4m²= m²+n

ta có m-n

m²+n -n=m² là một số chính phương

mình chưa học đâu . sorry

3m²+m=4n²+n

=>(m-n)(4m+4n+1)=m²(1)(phân tích ra là về cái ban đầu nhé)

Gọi d là 1 ước chung của m-n và 4m+4n+1

=>(m-n)(4m+4n+1) chia hết cho d.d=d²

Từ (1) =>m² chia hết cho d²

=>m chia hết cho d

Mà m-n cũng chia hết cho d => n chia hết cho d

=>4m+4n+1 chia d dư 1(vô lí vì d được giả sử là ước của 4m+4n+1)

=>4m+4n+1 và m-n nguyên tố cùng nhau

 khi phân tích a hoặc b có thừa số nguyên tố p với mũ lẻ mà 2 số này nguyên tố cùng nhau nên số còn lại không chưa p =>m² bằng tích của p với 1 số khác p.Mà m² là số chính phương nên điều trên là vô lí

=>m-n và 4m+4n+1 phải cùng là số chính phương(ĐPCM)

Hơi khó hiểu nhưng đúng đó Đây là mình cố giải thích cho bạn chứ thực ra k có dòng giải thích dài dài kia đâu

Khó lắm