Vì \(\Delta ADC\)nội tiếp đường tròn đường kính AO \(\Rightarrow\widehat{ADO}=90^O\Rightarrow OD⊥AC\left(1\right)\)mà \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn (O) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^O\Rightarrow BC⊥AC\left(2\right)\)từ 1 và 2 có \(OD\downarrow\uparrow BC\)Mà O là trung điểm BC thì D sẽ phải là trung điểm AC => AD = DCdo \(OH⊥BC\Rightarrow\widehat{CHO}=90^0\left(3\right)\)Mà \(\widehat{ODC}=90^0\left(4\right)\)TỪ 3 và 4 có D và H nhìn OC dưới cùng một góc vuông nên DOHC nội tiếp đường tròn đường kính OCVì \(OA=OB=OC=\frac{AB}{2}=3,HB=2OH\Rightarrow HB=\frac{2}{3}OB=\frac{2.3}{3}=2\).Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\Delta BCA\)có \(BC=\sqrt{HB.AB}=\sqrt{2.6}=\sqrt{12}\)Và HA=AB-HB=6-2=4 => \(AC=\sqrt{AH.AB}=\sqrt{4.6}=2\sqrt{6}\Rightarrow DC=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\)Xét Vuông \(\Delta DCB\)có:\(BD^2=DC^2+BC^2=6+12=18\),\(ID=IO=\frac{OA}{2}=\frac{3}{2}\),\(IB=IO+OB=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{4}\)ta có :\(ID^2+BD^2=\frac{9}{4}+18=\frac{81}{4}=IB^2\)Vậy theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có \(\Delta IDB\)Vuông tại D \(\Rightarrow ID⊥BD\)Mà ID là bán kính của (I) => BD là tiếp tuyến của (I)

Bạn kia làm đúng rồiV^V

Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên ^MIB=90o⇒^CIM=90o.

Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.

⇒^HIM=^HCM.

Tam giác ACM cân tại C nên ^HCM=^HCA.

Mà ^HCA=^HBC (Cùng phụ góc CAB)

Tam giác IJB cân tại J nên ^HBC=^JIB.

Tóm lại : ^HIM=^JIB⇒^HIM+^MIJ=^JIB+^MIJ

⇒^HIJ=^MIB=90o.

Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB

Gọi O, J lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Do MB là đường kính của nửa đường tròn tâm J nên \widehat{MIB}=90^o\Rightarrow\widehat{CIM}=90^oMIB=90o⇒CIM=90o.

Vậy nên tứ giác CHMI nội tiếp.

\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HCM}⇒HIM=HCM.

Tam giác ACM cân tại C nên \widehat{HCM}=\widehat{HCA}HCM=HCA.

Mà \widehat{HCA}=\widehat{HBC}HCA=HBC (Cùng phụ góc CAB)

Tam giác IJB cân tại J nên \widehat{HBC}=\widehat{JIB}HBC=JIB.

suy ra : \widehat{HIM}=\widehat{JIB}\Rightarrow\widehat{HIM}+\widehat{MIJ}=\widehat{JIB}+\widehat{MIJ}HIM=JIB⇒HIM+MIJ=JIB+MIJ

\Rightarrow\widehat{HIJ}=\widehat{MIB}=90^o.⇒HIJ=MIB=90o.

Vậy nên HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB.

gọi O là trung điểm của AB

       E là trung điểm của MB

có tam giác IMB là tam giác nội tiếp đường tròn tâm E

⇒tam giác IMB vuông tại I

⇒góc MIB bằng 90độ 

⇒góc CIM bằng 90 độ

⇒tứ giác CHMI là nội tiếp 

⇒góc HIM bằng góc HCM

có H là trung điểm của AM

CH là trung tuyến của tam giác CAM

có CH vuông góc với AM 

⇒CH là đường cao 

xét tam giác CAM có

CH là đường cao(cmt)

CH là trung tuyến(cmt)

⇒tam giác CAM cân tại C

⇒góc HCM bằng góc HCA

mà góc HCA bằng góc HBC (cùng phụ góc ACB)

có E là trung điểm của MB(lấy thêm)⇒IE là trung tuyến 

xét tam giác MIB vuông tại I có 

IE là trung tuyến

⇒IE bằng 1/2MB

mà ME bằng MB bằng 1/2MB

⇒IE bằng ME(1/2MB)

xét tam giác EIB có IE bằng ME (cmt)

⇒tam giác EIB cần tại E

⇒góc EBI bằng góc EIB

mà góc HCA bằng góc HBC

⇒góc EIB bằng góc HCA

có góc HIM bằng góc EIB 

⇒góc HIM+gócMIE bằng góc EIB+góc MIE

⇒góc HIE bằng góc MIB bằng 90 độ

⇒ HI là tiếp tuyến tại I của đường trong đường kính MB

 

 mình cần gấp nha

haha