\(Giải.\)

\(x^2-2y^2=1\Leftrightarrow x^2-1=2y^2\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)=2y^2\left(chẵn\right)\)

Dễ thấy: x+1-(x-1)=2 nên 2 số trên cùng chẵn hoặc cùng lẻ=> 2 số trên cùng chẵn

=> 2y² chia hết cho 4=>y² chia hết cho 2

=> y chẵn =>y=2=>x²-8=1=>x=3 (thỏa mãn)

Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp: (x,y)=(3;2) thỏa mãn

Dễ thấy: x+1-(x-1)=2 nên 2 số trên cùng chẵn hoặc cùng lẻ=> 2 số trên cùng chẵn

=> 2y² chia hết cho 4=>y² chia hết cho 2

=> y chẵn =>y=2=>x²-8=1=>x=3 (thỏa mãn)

Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp: (x,y)=(3;2) thỏa mãn

C1 ta có 3x^2 + 7y^2 = 2002 

<=> 3x^2=2002-7y^2 

<=> 3x^2=7(286-y^2) 

mặt khác (3;7)=1(nguyên tố cùng nhau) => x chia hết cho 7 <=> x^2 chia hết cho 7 

từ đó suy ra (286-y^2) chia hết cho 7 

<=> [287-(y^2+1) ] chia hết cho 7 

<=> y^2+1 chia hết cho 7 

giã sử y=7k +r (với 0<=r<=6 

=>y^2+1=(7k+r)^2+1=7(7k^2+2kr)+r^2 +1 

thử lại ta thấy với r =0;1;2;3;4;5;6 thì r^2 +1 o chia hết cho 7 => y^2+1 o chia hết cho 7 

=>đpcm
 

cách 2 
giữ 3x^3+7y^2=2002 (1) 

có nghiệm nguyên x,y 

từ (1) => x^2 chia hết cho 7 => x chia hết cho 7 => x => x^2=49 

=> x^2 có dạng 49t^2 (t thuộc Z) 

thay x^2=49t^2 vào (1) 

và nhận thấy y^2>=1 

=> 147t^2 <=1995 

=> t^2<=13 

-> t^2 = 1,4,9 

với t^2=1 ...=> x^2 =49 => y^2 =279,y#z 

t^2 =4 =>x^2=196 => y^2=258 (y#Z) 

t^=9 => x^2 =441 -> y^2 =223)(y#Z) 

đpcm