TÍnh S=3/1.4+3/4.7+3?7>!0+...+3/n(n+3) với n là số tự nhiên . chứng minh S<1

\(10n+10=10n+5+5=5\left(2n+1\right)+5⋮2n+1\)

\(=>2n+1\inƯ\left(5\right)\\ Ư\left(5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}\\ =>n=\left\{0-1;4;-3\right\}\)

Để n¹⁰+1 chia hết cho 10 => n¹⁰+1 có tận cùng là 0.

=>n10 có tận cùng là 9.

=> (n⁵)² có tận cùng là 9.

=> n⁵ có tận cùng là 3; 7

=> n có tận cùng là 3; 7

Vậy n thuộc N, n có tận cùng là 3; 7 thì n¹⁰ +1 chia hết cho 10

n¹⁰+1 chia hết cho 10

n¹⁰ có chữ số tận cùng là 9

n¹⁰ = (n⁵)² => n⁵ có chữ số tận cùng là 3 => n có chữ số tận cùng là 3

n thuộc 3 ; 13 ; 23 ; ..........

n¹⁰+1 chia hết cho 10

=>n¹⁰+1=...0

=>n¹⁰=...9

=>n lẻ

n¹⁰=...9

=>n⁴.n⁴.n²=...9

=>(...1)(...1).n²=...9

=>n²=..9

=>n có tận cùng là 7;3

Vậy n có tận cùng là 3;7

\(\dfrac{1}{3.4}\) + \(\dfrac{1}{4.5}\) + \(\dfrac{1}{5.6}\) + .....+\(\dfrac{1}{n.(n+1)}\) = \(\dfrac{3}{10}\)

\(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\) +......+ \(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\) = \(\dfrac{3}{10}\)

\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+1}\) = \(\dfrac{3}{10}\)

         \(\dfrac{1}{n+1}\) = \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{10}\)

          \(\dfrac{1}{n+1}\) = \(\dfrac{1}{30}\)

           n + 1 = 30

           n = 30 - 1

           n = 29

Kết luận n = 29 là giá  trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.