a, Chỉ ra |OI – OK| < IK < OI + OK => (1) và (k) luôn cắt nhau

b, Do OI=NK, OK=IM => OM=ON

Mặt khác OMCN là hình chữ nhật => OMCN là hình vuông

c, Gọi{L} = KB ∩ MC, {P} = IBNC => OKBI là Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông

=> ∆BLC = ∆KOI

=>  L B C ^ = O K I ^ = B I K ^

mà  B I K ^ + I B A ^ = 90 0

L B C ^ + L B I ^ + I B A ^ = 180 0

d, Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định

=> C cố định và AB luôn đi qua điểm C

x²>=0 Dấu "=" chỉ xảy ra khi x=0

-x² =< 0 Dấu "=" chỉ xảy ra khi x=0

*) bđt Cô-si

cho a,b không âm ta có \(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{ab}\)(*) dấu "=" xảy ra khi a=b

tổng quát: cho n số không âm a₁;a₂;....;a_n

ta có \(\frac{a_1+a_2+....+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2......a_n}\)dấu "=" xảy ra khi a₁=a₂=....=a_n

*) bđt Bunhiacopxki

cho bốn số a,b,c,d ta luôn có (ab+cd)² =< (a²+c²)(b²+d²) dấu "=" xảy ra <=> ad=bc

tổng quát cho 2n số a₁,a₂,...;a_n; b₁,b₂,....,b_n

ta luôn có (a₁b₁+a₂b₂+....+a_nb_n)² =< (a₁²+a₂²+....+a_n²).(b₁²+....+b_n²)

dấu "=" xảy ra \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=....=\frac{a_n}{b_n}\)

quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

(1) 2(a²+b²) >= (a+b)² >= 4ab

(2) 3(a²+b²+c²) >= (a+b+c)² >= 3(ab+bc+ca)

(3) \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

(4) \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

gọi E là giao điểm của Ah và MB. xét tam giác KAH và tam giác KMB có

 \(\widehat{AKH}=\widehat{MKB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{KAM}=\widehat{KMB}\)(2 góc cùng phụ góc AMN)

do đó tam giác KAH ~ tam giác KMB => \(\frac{KH}{KB}=\frac{AK}{BM}\Rightarrow KH\cdot KM=AK\cdot AB\)

áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\sqrt{AK\cdot AB}\le\frac{AK+AB}{2}\Leftrightarrow AK\cdot AB\le\frac{AB^2}{4}\)

do đó \(KH\cdot KM\le\frac{AB^2}{4};\frac{AB^2}{4}\)không đổi. dấu "=" xảy ra <=> AK=AB

vậy giá trị lớn nhất của KH.KM là \(\frac{AB^2}{4}\)khi AK=AB

giả sử đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC lần lượt tại H,K

S_AMN=S_OAM+S_OAN=\(\frac{1}{2}OH\cdot AM+\frac{1}{2}OK\cdot AN=\frac{AM+AN}{2}\)

vẽ MI _|_ AB tại I ta có AM >= MI

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm, ta có \(\frac{AM+AN}{2}\ge\sqrt{AM\cdot AN}\)

do đó \(S_{AMN}\ge\sqrt{AM\cdot AN}\ge\sqrt{MI\cdot AN};S_{AMN}=\frac{1}{2}MI\cdot AN\Rightarrow MI\cdot AN=2S_{AMN}\)

vậy \(S_{AMN}\ge\sqrt{2S_{AMN}}\Leftrightarrow S^2_{AMN}\ge2S_{AMN}\Leftrightarrow S_{AMN}\ge2\)(do S_AMN >0)

AM=AN=MI, tức là \(\widehat{BAC}=90^o\)và AM=AN thì S_AMN=2

vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác là 2

a/

Xét tg AOM có Ox đồng thời là đường cao và đường trung trực nên tg AOM cân tại O => OA=OM (trong tg có đường cao đồng thời là đường trung trực thì tg đó là tg cân)

Xét tg AON có Oy đồng thời là đường cao và đường trung trực nên tg AON cân tại O => OA=ON (trong tg có đường cao đồng thời là đường trung trực thì tg đó là tg cân)

=> OM=ON => tg OMN cân tại O

Đường trung trực của MN đồng thời cũng là đường cao của tg cân OMN xuất phát từ O (trong tg cân đường trung trực đồng thời là đường cao) 

Mà O cố định nên đường trung trực của MN luôn đi qua điểm O cố định

Anh Chị ơi em không biết câu này ạ

Ko biết