Ta có: \(a^2+b+\frac{3}{4}=a^2+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{2}\ge a+b+\frac{1}{2}\)

Và \(b^2+a+\frac{3}{4}\ge a+b+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow(a^2+b+\frac{3}{4})(b^2+a+\frac{3}{4})\ge(a+b+\frac{1}{2})^2\)

Cần chứng minh \((a+b+\frac{1}{2})^2\ge\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{1}{4}+a+b+2ab\ge4ab+a+b+\frac{1}{4}\Leftrightarrow(a-b)^2\ge0\)

BDT cuối đúng hay \(VT\ge VP\)

Nên xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Trời ! Sao trên đời này có nhiều đứa ngu quá vậy ?

Trời ! Sao trên đời này có nhiều người chảnh quá vậy ?

https://toanmath.com/2016/07/ki-thuat-su-dung-bat-dang-thuc-co-si-nguyen-cao-cuong.html

Theo bất đẳng thức Cô-Si \(a^2+\frac{1}{4}\ge a,b^2+\frac{1}{4}\ge b\to\left(a^2+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^2+a+\frac{3}{4}\right)\) 

\(\ge\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\left(a+b+\frac{1}{2}\right)=\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\)  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}.\)

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc \(\left(x+y\right)^2\ge4xy,\) với \(x=a+\frac{1}{4},y=b+\frac{1}{4}\) ta được

\(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2=\left(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\right)^2\ge4\left(a+\frac{1}{4}\right)\left(b+\frac{1}{4}\right)=\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right).\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a+\frac{1}{4}=b+\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b.\)

Vậy vế trái lớn hơn hoặc bằng vế phải. Do đó mà các dấu bằng xảy ra, từ đây ta được \(a=b=\frac{1}{2}.\)

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá

Bài 2: Ta có: x, y, z không âm và \(x+y+z=\frac{3}{2}\)nên \(0\le x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2-x>0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta được: \(x+2xy+4xyz=x+4xy\left(z+\frac{1}{2}\right)\le x+4x.\frac{\left(y+z+\frac{1}{2}\right)^2}{4}=x+x\left(2-x\right)^2\)

Ta cần chứng minh \(x+x\left(2-x\right)^2\le2\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,\frac{1}{2},0\right)\)

Bài 3: Áp dụng đánh giá quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\), ta có: \(2\le\left(x+y\right)^3+4xy\le\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\)

Đặt x + y = t thì ta được: \(t^3+t^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)\ge0\Rightarrow t\ge1\)(dễ thấy \(t^2+2t+2>0\forall t\))

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{1}{2}\)

\(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=3\left[\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)^2\right]-2\left(x^2+y^2\right)+1\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)\(=\frac{9}{4}\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\right]-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{9}{4}.2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2.\frac{1}{4}}-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{1}{8}+\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = ¹/₂

Bài 4: Theo giả thiết, ta có: \(x\left(x+y+z\right)=3yz\)(*)

Vì x > 0 nên chia cả hai vế của (*) cho x², ta được: \(1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=3.\frac{y}{x}.\frac{z}{x}\)

+) \(\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le5\left(y+z\right)^3\)\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{y}{x}\right)^3+\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)^3+3\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)\le5\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)^3\)(Chia hai vế của bất đẳng thức cho x³)

Đặt \(s=\frac{y}{x},t=\frac{z}{x}\left(s,t>0\right)\)thì giả thiết trở thành \(1+s+t=3st\)và ta cần chứng minh \(\left(1+s\right)^3+\left(1+t\right)^3+3\left(s+t\right)\left(1+s\right)\left(1+t\right)\le5\left(s+t\right)^3\)(**)

Ta có: \(1+s+t=3st\le\frac{3}{4}\left(s+t\right)^2\Leftrightarrow3\left(s+t\right)^2-4\left(s+t\right)-4\ge0\Leftrightarrow\left[3\left(s+t\right)+2\right]\left(a+b-2\right)\ge0\Rightarrow s+t\ge2\)(do \(3\left(s+t\right)+2>0\forall s,t>0\))

Đặt \(s+t=f\)thì \(f\ge2\)

(**)\(\Leftrightarrow4f^3-6f^2-4f\ge0\Leftrightarrow f\left(2f+1\right)\left(f-2\right)\ge0\)*đúng với mọi \(f\ge2\)*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z