Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán, ta có :

\(VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)

a/ \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1-\frac{1}{10}\)

=> \(A=\frac{9}{10}\)

b/ \(A=\frac{n+2}{n-5}=\frac{n-5+7}{n-5}=\frac{n-5}{n-5}+\frac{7}{n-5}\)

=> \(A=1+\frac{7}{n-5}\)

Để A nguyên => 7 chia hết cho n-5 => n-5=(-7; -1; 1; 7)

=> n=(-2; 4, 6, 8)

câu 1b

Gọi d là ƯCLN (3n-7, 2n-5), d thuộc N*

Ta có : 3n-7 chia ht cho d , 2n_5 chia ht cho d

suy ra: 2(3n-7) chia ht cho d ,  3(2n-5) chia ht cho d

suy ra 6n-14 chia ht cho d, 6n-15 chia ht cho d

dấu suy ra [(6n -15) - (6n-14)] chia ht cho d dấu suy ra 1 chia ht cho d suy ra d =1

Vậy......

1) b. Để chứng tỏ \(\frac{3n-7}{2n-5}\) là phân số tối giản 

Ta cần chứng minh: ( 3n - 7; 2n - 5 ) = 1 

Thật vậy: ( 3n - 7 ; 2n - 5 ) = ( 2n - 5 ; ( 3n - 7 ) - ( 2n - 5 ) )  = ( 2n - 5; n - 2 ) = ( n - 2; n - 3 ) = ( n - 2; 1 ) = 1

=> \(\frac{3n-7}{2n-5}\) là phân số tối giản 

3) \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{12}\)

Ta có: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}>\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\frac{1}{6}=\frac{12}{35}+\frac{1}{6}>\frac{12}{36}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}=\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}\right)>\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2} \)

=> A > 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2

đổi k ko,mk hứa sẽ k lại(nếu ko làm chó!!!!!!!!!!!!!)

Bài 1: <Cho là câu a đi>:

a. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow1-\frac{1}{x+1}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{49}{50}=\frac{1}{50}\) 

\(\rightarrow x+1=50\rightarrow x=49\) 

Vậy x = 49.

Tìm x, y nguyên dương để :  \(\frac{1}{x}+\frac{y}{2}=\frac{5}{8}\)

Ta có :  \(\frac{1}{x}+\frac{y}{2}=\frac{5}{8}\)  =>   \(\frac{5}{8}-\frac{y}{2}=\frac{1}{x}\)

=>    \(\frac{5-4y}{8}=\frac{1}{x}\)       =>     \(\left(5-4y\right)x=8\)

=> 5 - 4y; x là ước của 8

Ta có bảng :

Vì x,y nguyên dương => x = 8 ; y = 1

Vậy x = 8; y = 1 là 2 giá trị cần tìm

Study well ! >_<

1+1=3 :)))

\(a)\) Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}\) ta có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)

\(A< 1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(A< 1\) ( đpcm ) 

Vậy \(A< 1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(a,\left[\frac{4}{5}+\frac{2}{3}\right]:\frac{1}{5}-1,4\cdot\left[\frac{-5}{7}\right]^2\)

\(=\left[\frac{4\cdot3}{15}+\frac{2\cdot5}{15}\right]:\frac{1}{5}-1,4\cdot\frac{-5}{7}\cdot\frac{-5}{7}\)

\(=\left[\frac{12}{15}+\frac{10}{15}\right]:\frac{1}{5}-\frac{14}{10}\cdot\frac{25}{49}\)

\(=\frac{22}{15}:\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\cdot\frac{25}{49}\)

\(=\frac{22}{15}\cdot\frac{5}{1}-\frac{7}{5}\cdot\frac{25}{49}\)

\(=\frac{22\cdot5}{15\cdot1}-\frac{7\cdot25}{5\cdot49}=\frac{22\cdot1}{3\cdot1}-\frac{1\cdot5}{1\cdot7}=\frac{22}{3}-\frac{5}{7}\)

= ...

Tự tính

Bài 2 : \(a,3-\left|\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left|\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{2}+3\)

\(\Rightarrow\left|\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}\right|=\frac{7}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=\frac{7}{2}\\\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{2}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{23}{3}\\x=\frac{-19}{3}\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{23}{3};\frac{-19}{3}\right\}\)

b, \(0,6-160\%< x\le3\frac{2}{3}:\frac{22}{18}\)

\(\Rightarrow0,6-\frac{160}{100}< x\le\frac{11}{3}:\frac{22}{18}\)

\(\Rightarrow0,6-\frac{8}{5}< x\le\frac{11}{3}\cdot\frac{18}{22}\)

\(\Rightarrow0,6-1,6< x\le3\)

\(\Rightarrow-1< x\le3\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;1;2;3\right\}\)

3. a) \(đk:x\ne1;x\ne-2\)

Ta có: \(A=\frac{3x-3+2}{x-1}=\frac{3\left(x-1\right)+2}{x-1}=3+\frac{2}{x-1}\)

Để A là số nguyên thì x là số nguyên và x-1 là ước của 2 . Ta có bảng:

Lại có: \(B=\frac{2x^2+4x-3x-6+5}{x+2}=\frac{2x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)+5}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}\)

Để B là số nguyên thì x là số nguyên và x+2 là ước của 5. Ta có bảng:

b) Để A và B cùng nguyên thì \(x\in\left\{-1;3\right\}\)