Ta có :

\(3^{2014}+3^{2013}-3^{2012}\)

\(=3^{2012}\left(3^2+3-1\right)\)

\(=3^{2012}.11\)

\(\Rightarrow3^{2014}+3^{2013}-3^{2012}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

\(3^{2014}-3^{2013}+3^{2012}=3^{2012}\left(9-3+1\right)\)

\(=3^{2012}\cdot7=3^{2010}\cdot63⋮63\)

Dpcm

3²⁰¹⁴ - 3²⁰¹³ + 3²⁰¹² 

= 3²⁰¹² x 3² - 3²⁰¹² x 3 + 3²⁰¹² x 1

= 3²⁰¹² x 9 - 3²⁰¹² x 3 + 3²⁰¹² x 1

= 3²⁰¹² x (9 - 3 + 1)

= 3²⁰¹² x 7

= 3²⁰¹⁰ x 3² x 7

= 3²⁰¹⁰ x 9 x 7

= 3²⁰¹⁰ x 63

Mà 63 \(⋮\) 63 nên 3²⁰¹⁰ x 63 \(⋮\) 63 => 3²⁰¹⁴ - 3²⁰¹³ + 3²⁰¹² \(⋮\)63

\(\frac{\frac{1}{2012}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}}{\frac{5}{2012}+\frac{5}{2013}-\frac{5}{2014}}-\frac{\frac{2}{2013}+\frac{2}{2014}-\frac{2}{2015}}{\frac{3}{2013}+\frac{3}{2014}-\frac{3}{2015}}\)

=\(\frac{\frac{1}{2012}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}}{5\left(\frac{1}{2012}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\right)}-\frac{2\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)}{3\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)}=\frac{1}{5}-\frac{2}{3}=\frac{3}{15}-\frac{10}{15}=-\frac{7}{15}\)

Đề \(\Rightarrow a^{2014}+b^{2014}-2\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+a^{2012}+b^{2012}=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2012}\left(a^2-2a+1\right)+b^{2012}\left(b^2-2b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2012}\left(a-1\right)^2+b^{2012}\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a=0\text{ hoặc }a=1\right)\text{ và }\left(b=0\text{ hoặc }b=1\right)\)

\(+a=0\text{ hoặc }a=1\text{ thì }a^{2014}=a^{2010}\)

\(+b=0\text{ hoặc }b=1\text{ thì }b^{2014}=b^{2010}\)

Suy ra \(a^{2014}+b^{2014}=a^{2010}+b^{2010}\)