Kushito Kamigaya tham khảo nhé:

x² + (x+y)² = (x+9)² 
<=> (x+y)² = (x+9)² - x² 
<=> (x+y)² = 9(2x+9) (*) 
Vì: 9 = 3² nên từ (*) ta thấy (2x+9) phải là số chính phương 
=> 2x+9 = n² => 2x = (n-3)(n+3) => x = (n-3)(n+3)/2 
n-3 và n+3 cùng chẳn hoặc cùng lẽ, nên x nguyên dương khi n là số lẽ lớn hơn 3 
đặt n = 2k+1 với k > 1, (k nguyên) 
có: 2x + 9 = (2k+1)² = 4k²+4k+1 
=> x = 2k²+2k-4, thay x vào (*) 

(x+y)² = 9(2k+1)² => x+y = 3(2k+1) = 6k+3 => y = 6k+3-x 
=> y = 6k + 3 - 2k² - 2k + 4 = -2k² + 4k + 7 > 0 
=> k² - 2k < 7/2 => (k-1)² < 7/2+1 = 9/2 
=> k-1 < 3/√2 => k - 1 ≤ 2 => k ≤ 3 
với đk k > 1 ở trên ta chỉ chọn được k = 2 hoặc k = 3 

*k = 2 => x = 8, y = 7 

*k = 3 => x = 20, y = 1

\(x^2+x=y^4+y^3+y^2+y\)                                (1)

\(\Leftrightarrow4y^4+4y^3+4y^2+4y+1=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2x+1\right)^2\)

Ta có

\(\left(2y^2+y\right)^2< \left(2y^2+y\right)+3y^2+4y+1< \left(2y^2+y+2\right)^2\)            (2)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y^2+4y+1>0\\\left(3y^2+y\right)^2+4\left(2y^2+y\right)+4-\left(2y^2+y\right)^2-3y^2-4y-1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y+1\right)\left(3y+1\right)>0\\5y^2+3>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y< -1\\y>\frac{-1}{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow y\ne-1\)(do y là số nguyên)

lúc đó (1) xảy ra khi 

\(\left(2x+1\right)^2=\left(2y^2+y+1\right)^2\)                               (3)

tức là \(\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2y^2+y+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1=\left(2y^2+y\right)^2+2\left(2y^2+y\right)+1\)

\(\Leftrightarrow3y^2+4y=4y^2+2y\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=2\end{cases}}\)

Thay vào (3) tìm được y

Nghiệm (y,x) là (0,0),(0,-1),(2,5),(2,-6),(-1,0),(-1,-1)

adult pron

ko giải thì thôi mình tích sai mỗi ngày 3 cái đó 

bn noob đòi hok toán ơi nếu bn ko tl thì đừng đăng vậy nx mik thấy bn viết từ này rất nhiều trong các câu hỏi

xl anh Châu nha e mới lớp 6 ko tl đc e tl vì nhắc bn kia thôi

thành thật xlllllllllll

Bài 2:
Với $x,y,z$ nguyên dương ta thấy:

\((x+y)^2+3x+y+1> (x+y)^2(1)\)

Và:

\((x+y)^2+3x+y+1< (x+y)^2+4(x+y)+4\)

hay $(x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2(2)$

Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y)^2< (x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2\)

Theo nguyên lý kẹp suy ra $z^2=(x+y+1)^2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$

$\Leftrightarrow x=y$

Thay vào PT ban đầu:

\((2x)^2+3x+x+1=z^2\Leftrightarrow (2x+1)^2=z^2\Rightarrow 2x+1=z\) (không có TH $2x+1=-z$ do $x,z$ cùng nguyên dương)

Vậy PT có nghiệm $(x,y,z)=(m,m,2m+1)$ với $m$ là số nguyên dương bất kỳ.

Lời giải:

Xét

PT \(\Leftrightarrow x^3=y^3+2y^2+3y+1\)

Ta thấy:

\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3+3y^2+3y+1)-y^2=(y+1)^3-y^2\leq (y+1)^3(1)\)

\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3-3y^2+3y-1)+5y^2+2=(y-1)^3+5y^2+2\)

\(>(y-1)^3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (y+1)^3\geq y^3+2y^2+3y+1> (y-1)^3\)

\(\Leftrightarrow (y+1)^3\geq x^3> (y-1)^3\)

Theo nguyên lý kẹp thì \(\left[\begin{matrix} x^3=(y+1)^3\\ x^3=y^3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x^3=(y+1)^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=(y+1)^3\)

\(\Leftrightarrow y=0\)

\(\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\)

Nếu \(x^3=y^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=y^3\)

\(\Leftrightarrow 2y^2+3y+1=0\Leftrightarrow (2y+1)(y+1)=0\Rightarrow y=-1\) (do $y$ nguyên)

$\Rightarrow x^3=y^3=-1\Rightarrow x=-1$

Vậy $(x,y)=(1,0); (-1,-1)$