Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là trung điểm BC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)

Đặt \(T=MB^2+MC^2-2MA^2\)

\(T=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2\)

\(=OB^2+OC^2-2OA^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=4\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AD}\)

\(=4R.AD.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\)

Do R và AD cố định \(\Rightarrow T_{min}\) khi \(cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\) đạt min

\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)=-1\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MO}\) và \(\overrightarrow{AD}\) là 2 vecto ngược chiều

\(\Rightarrow\) M là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ngoại tiếp tam giác, với d đi qua O và song song AD sao cho A và M nằm về 2 phía so với đường thẳng BC

Bài toán phụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=120^o\). Khi đó BC²=AB²+AC²+AB.AC

Chứng minh: Gọi H là hình chiếu của C trên  AB

\(AH=\frac{1}{2}AC;CH=\frac{\sqrt{3}}{2}AC\left(1\right)\)

Theo định lý Pytago, ta có: BC²=BH²+CH² (2)

Từ (1)(2) => BC²=(AB+AH)²+CH²=\(\left(AB+\frac{1}{2}AC\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}AC\right)^2\)

\(=AB^2+AB\cdot AC+\frac{1}{4}AC^2+\frac{3}{4}AC^2=AB^2+AC^2+AB\cdot AC\)

Không mất tính tổng quát giả sử M thuộc cung \(\widebat{BC}\) (không chứa A) của (O) 

Chứng minh được MA=MB+MC

=> MA²=MB²+MC²+2.MB.MC

=> MA²+MB²+MC²=2(MB²+MC²+MB.MC)(3)

Theo BĐ1 ta có: MB²+MC²+MB.MC=BC²

=> MB²+MC²+MB.MC=3R²

Từ (1) (2) => MA²+MB²+MC²=6R²

bạn ơi câu a ko có dữ liệu thì tính sao được còn câu b đợi mk tí mk làm cho

b) vì MD=MB ==> tam giác BDM cân tại M

mà góc BMD=góc ACB=60 độ

do đó tam giác BDM đều ==>DBM=60 độ

ta có ABD+DBC=60 độ

      MBC+DBC=60 độ

==> góc ABD= CBM

DO ĐÓ TAM GIÁC ABD= tam giác CBM(c.g.c)

==> AD=CM ==> AD+DM=BM+MC=AM

==> ĐIỀU CẦN CHỨNG MINH

làm câu b chứ câu a chưa làm được vì đây mới lớp 8

Trên MA lấy I sao cho MI = MB. Tam giác MBI đều, suy ra \(\widehat{IBM}=60^o\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

\(\Delta ABI=\Delta CBM\left(c-g-c\right)\)nên AI = MC. Từ đó MA = MB + MC.

\(\Rightarrow\)\(MA=MB+MC\left(ĐPCM\right)\)