Mình sẽ làm cách chia nha còn bạn mún cách nào thì bảo mình làm lại 

a)

 

Để \(x^3+ax+b\)chia hết cho \(x^2+2x-2\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+2+4=0\\b-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-6\\b=4\end{cases}}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=-6\\b=4\end{cases}}\)để \(x^3+ax+b\)chia hết cho \(x^2+2x-2\)

b) dùng phương pháp xét giá trị riêng

Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+5x-50\)

Ta có: \(f\left(x\right)\)chia hết cho\(x^2+3x-10\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x^2+3x-10\right).q\left(x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\left(2^2+2.3-10\right).q\left(2\right)\)

                 \(=0\)

\(\Leftrightarrow a.2^3+b.2^2+5.2-50=0\)

\(\Leftrightarrow8a+4b-40=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(2a+b-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a+b=10\left(1\right)\)

Lai có : \(f\left(-5\right)=\left[\left(-5\right)^2+3.\left(-5\right)-10\right].q\left(-5\right)\)

                             \(=0\)

\(\Leftrightarrow a.\left(-5\right)^3+b.\left(-5\right)^2+5.\left(-5\right)-50=0\)

\(\Leftrightarrow-125a+25b-25-50=0\)

\(\Leftrightarrow-125a+25b-75=0\)

\(\Leftrightarrow25\left(-5a+b-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-5a+b=3\left(2\right)\)

Lấy (1) trừ (2) ta được: \(\left(2a+b\right)-\left(-5a+b\right)=10-3\)

                                 \(\Leftrightarrow7a=7\)

                                 \(\Leftrightarrow a=1\)

Thay a=1 vào (1 ) ta được: b=8

Vậy a=1 và b=8

Đa thức \(x^2+3x-10\)có nghiệm \(\Leftrightarrow x^2+3x-10=0\)

Ta có: \(\Delta=3^2+4.10=49,\sqrt{\Delta}=7\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{-3-7}{2}=-5;x_2=\frac{-3+7}{2}=2\)

-5 và 2 là hai nghiệm của đa thức \(x^2+3x-10\)

Để  f(x)=ax³+bx²+5x-50 chia hết  cho đa thức x²+3x-10 thì -5 và 2 cũng  là hai nghiệm của đa thức f(x)=ax³+bx²+5x-50

Nếu x = -5 thì \(-125a+25b-25+50=0\Leftrightarrow5a-b=-1\)(1)

Nếu x = 2 thì \(8a+4b+10-50=0\Leftrightarrow2a+b=10\)(2)

Lấy (1) + (2), ta được: \(7a=9\Leftrightarrow a=\frac{9}{7}\)

\(\Rightarrow b=10-2.\frac{9}{7}=\frac{52}{7}\)

Vậy \(a=\frac{9}{7}\)và \(b=\frac{52}{7}\)

Ko bt bạn có sai đề ko? Chứ như vậy ko tồn tại a, b

Giải theo kiểu hệ số bất định

Đặt ax³ +bx²+5x-50

=(x²+3x-10).(cx+ d)

=cx³ + ( d+3c).x² +(3d - 10c).x -10d

=>a=c; b=d+3c; 5=3d-10c; -50=-10d;

=> a=1; b=8;

Vậy ... 

\(a) x^4 + ax^2 + b \\ = x^4 + 2x^2 + b + ax^2 - 2x^2\\ = (x^2 + 1)^2 - x^2 + x^2(a + b)\\ = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) + x^2(a + b) \\ = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) + (a + b)(x^2 + x + 1) - (a + b)(x - 1). \)
Để \(x^4 + ax^2 + b\) chia hết cho \(x^2 + x + 1\) thì số dư bằng 0

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\\ \Rightarrow a=b=1\)
\(b) ax^3 + bx^2 + 5x - 50\\ = (x^2 + 3x - 10)(cx + d) \\ = ax^3 + bx^2 + 5x - 50\\ = cx^3 + (d + 3c)x^2 + (3d - 10c)x - 10d \\\)
Mà: \(a = c\)

\(b = d + 3c\\ 5 = 3d - 10c\\ -50 = -10d\)
Vậy \(a = 1, b = 8\)

\(d)f(x)=ax^3+bx-24\)

Để f(x) chia hết cho (x + 1)(x + 3) thì f(-1)=0 và f(-3) = 0
f(-1)=0 => -a - b - 24 = 0 (*)

f(-3) = 0 => - 27a - 3b - 24 =0 (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-a-b-24=0\\-27a-3b-24=0\end{matrix}\right.\)

Giải ra ta được a = 2; b = -26