Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:\(a^2b+b^c+c^2a\le\frac{9x^2y^2z^2}{1+2x^2y^2z^2}\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn : \(x^2+y^2+z^2=3\)
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{x}{x^2+2y+3}+\dfrac{y}{y^2+2z+3}+\dfrac{z}{z^2+2x+3}\le\dfrac{1}{2}\)
\(VT\le\dfrac{x}{2x+2y+2}+\dfrac{y}{2yz+2z+2}+\dfrac{z}{2z+2x+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{x}{x+y+1}+\dfrac{y}{y+z+1}+\dfrac{z}{z+x+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+1}{x+y+1}+\dfrac{z+1}{y+z+1}+\dfrac{x+1}{z+x+1}\ge2\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(z+x+1\right)}+\dfrac{\left(y+1\right)^2}{\left(y+1\right)\left(x+y+1\right)}+\dfrac{\left(z+1\right)^2}{\left(z+1\right)\left(y+z+1\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx+3}\)
\(VT\ge\dfrac{6\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+12}{3\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx+6}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cho các số dương x;y;z thỏa mãn \(xyz=1\) . Chứng minh rằng :
\(\frac{x^2y^2}{2x^2+y^2+3x^2y^2}+\frac{y^2z^2}{2y^2+z^2+3y^2z^2}+\frac{x^2z^2}{2z^2+x^2+3z^2x^2}\le\frac{1}{2}\)
Bài 1:Tìm x, y, z biết :
12x-15y / 7 = 20z-12x / 9 = 15y-20z / 11 và x+y+z=48
Bài 2:Cho 2y+2z-x / a = 2z+2x-y / b = 2x+2y-z / c
Chứng minh rằng: x / 2b+2c-a = y / 2c+2b-a + z / 2a+2b -c
cho( 2y+2z-x)/a=(2z+2x-y)/b=(2x+2y-z)/c
Chứng minh x/(2c+2b-a)=y/(2c+2a-b)=z/(2a+2b-c)
cho \(\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}\) chứng minh rằng \(\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}\)
Bài1: Giải phương trình sau:
(x2+5)(x2+10x)=6(2x-1)2
Bài 2:
a, Cho 1<=a,b,c<=3 thỏa mãn a2+b2+c2=19. Tìm giá trị nhỏ nhất của E=a+b+c.
b, Cho x,y,z>0 thỏa mãn điều kiện (x+y)(y+z)(z+x)=8. Chứng minh rằng (x+2y+z)(y+2z+x)(z+2y+x)>=64.
Bài 4: Cho các số tự nhiên a,b thỏa mãn điều kiện 2a2+a=6b2+b. Chứng minh rằng a-b, 2a+2b,2a+2a+1 đều là các số chính phương.
Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)
Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)
Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1
b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)
Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay
\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)
khó lắm ai làm được tui chuyển 10k qa tài khoản ngân hàng =) nói là làm
Cho 2y+2z-x phần a=2z+2x-y phần b =2x+2y-z phần c với a,b,c khác 0,2a+2b khác c ,2b+2c khác a,2c+2a khác b CHỨNG MINH
x phần 2b+2c-a= y phần 2c+2a-b =z phần 2a+2b-c
Cho ba số dương x, y và z thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)
= \(\frac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}+\frac{1}{y^2+z^2+z^2+1+2}+\frac{1}{z^2+x^2+x^2+1+2}\)
\(\le\frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyzx+yzx+zx}+\frac{x}{yzx+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{x+1+zx}+\frac{x}{1+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= 1/2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =z =1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}}\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{1}{y^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2xz+2x+2}\)
Do đó ta có:\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mặt khác, do xyz=1 nên ta có:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}\)
\(=\frac{xy+y+1}{xy+y+1}=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
1,cho\(\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}\)
CMR:\(\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}\)