Gọi a,b,c là độ dài các cạnh BC,AC,AB của tam giác nhọn ABC. Chứng minh: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Cho tam giác ABC nhọn với AB = c , AC = b , BC = a . Chứng minh :
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Kẽ đường cao AH
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}sinB=\frac{AH}{c}\\sinC=\frac{AH}{b}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow AH=c.sinB=b.sinC\)
\(\Rightarrow\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
cho tam giác ABC nhọn, BC=a, AC=b, AB=c
chứng minh:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Ta có:
\(\frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{h_b}{c}}=\frac{ac}{h_b}=\frac{ac}{\frac{2S}{b}}=\frac{abc}{S}\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b}{sinB}=\frac{abc}{2S}\left(2\right)\\\frac{c}{sinC}=\frac{abc}{2S}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
Lạnh lùng boy không giải được thì nói té đi còn bày đặt mình mình giải cho
(Định lý sin) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, AC = b, AB = c và nội tiếp đường tròn (O ; R). Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}=2R$.
\(S_{ABC}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{abc}{4R}\)
+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}\Rightarrow b\sin A=a\sin B\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\left(1\right)\)
+ Từ \(\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}\Rightarrow c\sin B=b\sin C\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(2\right)\)
+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=2R\left(3\right)\)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\left(dpcm\right)\)
Từ A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) , Từ B kẻ đường cao BK (K thuộc AC)
Ta có : ; ;
;
(1)
Lại có :
(2)
Từ (1) và (2) ta có : (Đpcm)
Kẻ đường kính BD.
ta có góc A = góc D ( góc nội tiếp chắn cung BC)
=> sinA = sin D
có tam giác BCD vuông tại C => sinD = BD/BC
=> sinA = 2R/a
=> a/sinA=2R
CMTT ta có b/sinB =2R
c/sinC=2R
do đó a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
Cho tam giác ABC nhọn có BC=a, AC=b, AB=c
Chứng minh
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Từ A kẻ đường cao AH, H thuộc BC. Từ B kẻ đường cao BK, K thuộc AC
Ta có: \(\sin A=\frac{BK}{AB};\sin B=\frac{AH}{AB};\sin C=\frac{AH}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{\sin C}=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}=\frac{AB.AC}{AH}\)
\(\Rightarrow\frac{AC}{\sin B}=\frac{AC}{\frac{AH}{AB}}=\frac{AB.AC}{AH}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}1\)
Lại có:
\(BK=\sin C.BC\Rightarrow\frac{BC}{\sin A}=\frac{BC}{\frac{BK}{AB}}=\frac{BC.AB}{BK}=\frac{AB.BC}{\sin C.BC}=\frac{AB}{\sin C}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}2\)
Từ 1 và 2, ta có:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
các bạn giúp mình với:
cho a, b, c lần lượt là độ dài cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\sin\frac{\widehat{B}}{2}.\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}\)
c) đường cao AD, BE cắt nhau ở h. chứng minh \(AH.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, Ab. Chứng minh rằng: sin \(\frac{A}{2}\)< hoặc = \(\frac{a}{b+c}\)
Do mình chưa học lớp 9, nên không thể giải bài của bạn. Mình có tìm trên mạng và đã tìm được lời giải này cho bạn. Thực mình không hiểu đâu, mong bạn thông cảm.
Nguồn : http://diendantoanhoc.net/topic/81625-sinfraca2leq-fraca2sqrtbc/
Mình sử dụng công thức \(S=\frac{AB.AC.Sin_A}{2}.\).
Vẽ tia phân giác AD của góc A.Đặt \(l=AD\)
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(=\frac{cl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}+\frac{bl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}\)
\(=\frac{l.Sin_{\frac{A}{2}}\left(b+c\right)}{2}\)
Mặt khác \(S_{ABC}\le\frac{al}{2}\)
\(\Leftrightarrow Sin_{\frac{A}{2}}\le\frac{a}{b+c}\left(\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\right)\) :)
cho a, b, c lần lượt là độ dai cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh rằng \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chưng minh rằng \(\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}\)
c)đường cao AD, BE cắt nhau ở H. chứng minh \(AD.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
minh biet lam cau b)
ke phan giac AD , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD
sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)
ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)
=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)
dau = xay ra <=> AD vuong goc BC => AD la duong phan giac ,la duong cao => tam giac ABC can tai A => AB=AC => b=c
tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)
=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
ap dung cosi cjo 2 so duong b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu
Cho tam giác ABC biết AB=12cm , AC=9cm , BC=15cm.
a. Chứng minh tam giác ABC vuông
b. Tính; \(\frac{\sin B+\sin C}{\sin B-\sin C}\)
c. Tính độ dài đường cao AH
d. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
e. Chứng minh \(AH=\frac{BC}{\cot B+\cot C}\)
f. Chứng minh \(S_{AMN}=\sin^2B\cdot\sin^2C\cdot S_{ABC}\)
Giúp mk nhanh nhé mn ơi
Cho tam giác ABC có \(\frac{\sin B+2018\sin C}{2018\cos B+\cos C}=\sin A\)và độ dài các cạnh là các số tự nhiên. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác MBG có diện tích là một số tự nhiên
LÀM HỘ MK NHA!!!
THANKS!!!
Đặt \(m=2018,\frac{\sin B+m\sin C}{m\cos B+\cos C}=\sin A\Leftrightarrow b+mc=a\left(m\cos B+\cos C\right)\)
\(\Leftrightarrow b+mc=\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\)
\(\Leftrightarrow2bc\left(b+mc\right)=mb\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2b^2c+2mbc^2=mba^2+mbc^2-mb^3+ca^2+cb^2-c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(c+mb\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Dễ dàng CM được \(S_{ABC}=6.S_{MBG}\Rightarrow bc=12.S_{MBG}\).Do vậy ta cần CM bc chia hết cho 12
( ta sử dụng tính chất của số chính phương)
- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1
*) Ta thấy trong 2 số \(b^2,c^2\)có ít nhất 1 số chia hết cho 3. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 3. Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1. Do đó a2 chia 3 dư 2 ( trái với tính chất số chính phương)
Do 3 là số nguyên tố nên trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . (1)
*)Chứng minh trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 4. Khi đó \(b=4m+r;c=4n+q;r,q\in\left\{1;2;-1\right\}\)
+ Nếu \(r,q\in\left\{1;-1\right\}\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
+ Nếu \(r\in\left\{-1;1\right\},q=2\) hoặc ngược lại thì a2 là số lẻ và a2 chia 8 dư 5 ( vô lý)
+ Nếu r=q=2 thì \(a^2=4\left(2m+1\right)^2+4\left(2n+1\right)^2\Rightarrow\)a chẵn
Đặt \(a=2p\Rightarrow p^2=\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2\Rightarrow p^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
Vậy trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm