1/Vì x,y,z là số chính phương nên x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1 và x,y,z chia 4 dư 0 hoặc 1 (tự CM) 

TH1: x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1

Có: (x-y)(y-z)(z-x)

Vì x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1 nên có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 3 (1)

Tương tự: (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2)

Vậy (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 12

2/ Có: 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m-n\right)\left(m+n\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

Do đó: để CM m-n và 5m+5n+1 là scp thì chúng phải là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là \(ƯCLN\left(m-n;5m+5n+1\right)\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow m^2⋮d^2}\Leftrightarrow m⋮d\)

Suy ra: \(n⋮d\)

Hay: \(5m+5n⋮d\)

Mà \(5m+5n+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vì thế m-n và 5m+5n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Vậy KL.....

đọc xong đề bài chắc chết mất 

trời ơi những câu nào tương tự thì hỏi lmj hỏi 1 câu rồi tự làm tương tự!

hoa mắt, chóng mặt, sao nhiều thế bạn

Ta có: a, b là các số tự nhiên không chia hết cho 5

=> Chữ số cuối cùng các số a, b  có thể là 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,9

 mà 1^4=1, 2^4=16, 3^4 =81, 4^4=256, 6^41296,...

=> Như vậy chữ số tận cùng các sô a^4 và b^4 là 1 hoặc 6

=> Chữ số tận cùng các số a^4m, b^4m là 1 hoặc 6

=> Chữ số tận cùng các số a^4m -1  và b^4m -1 là 0 hoặc 5 

=> \(\hept{\begin{cases}a^{4m}-1⋮5\\b^{4m}-1⋮5\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\left(a^{4m}-1\right)⋮5\\y\left(b^{4m}-1\right)⋮5\end{cases}}\)

=> \(x\left(a^{4m}-1\right)+y\left(b^{4m}-1\right)⋮5\Rightarrow xa^{4m}+yb^{4m}+\left(x+y\right)⋮5\Rightarrow xa^{4m}+yb^{4m}⋮5\)vì x+y chia hết cho 5

Hoặc nếu em đã được học kiến thức đồng dư:

a, b là các số không chia hết cho 5

=> a^4 , b^4 có chữ số tận cùng là 1, 6 

=> a^4m, b^4m có chữ số tận cùng 1, 6

=> \(\hept{\begin{cases}a^{4m}\equiv1\left(mod5\right)\\b^{4m}\equiv1\left(mod5\right)\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x.a^{4m}\equiv x\left(mod5\right)\\y.b^{4m}\equiv y\left(mod5\right)\end{cases}\Rightarrow x.a^{4m}+y.b^{4m}\equiv x+y\equiv}0\left(mod5\right)\)