Cho tam giác ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác. Từ M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB cắt AB, BC, CA lần lượt tại N,P,Q. Xác định vị trí của M để tam giác NPQ đều
Tam giác đều ABC , điểm M nằm trong tam giác. Qua M kẻ ba đường thẳng lần lượt song song với AC , AB , BC và ba dường đó lần lượt cắt BC , AC ,AB tại D, E , F. Cmr:
a)BFMD , CDME ,AEMF là hình thang cân
b)góc DME = góc EMF = góc DMF
Cho tam ABC đều và điểm M nằm trong tam giác. Từ M kẻ các đường thẳng song song với BC,CA,AB cắt AB,BC,CA lần lượt tại N,P,Q. Xác định vị trí điểm M để NPQ là tam giác đều
Cho tam ABC đều và điểm M nằm trong tam giác. Từ M kẻ các đường thẳng song song với BC,CA,AB cắt AB,BC,CA lần lượt tại N,P,Q. Xác định vị trí điểm M để NPQ là tam giác đều
làm tương tự
3. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB và AD. Cmr
CH/CB=CK/CD
Tam giác CHK đồng dạng tam giác BCA
AB.AH + AD.AK= AC x AC
bài làm
![[IMG]](https://lh4.googleusercontent.com/-qw6b5CJV7g8/Ubnh5Fe6_uI/AAAAAAAAAJA/TOnMiHtG-S8/s475/unHM%252CJ%252Ctitled.GIF)
a)
Ta có: HBCˆ=KDCˆ(=180o−ABCˆ)HBC^=KDC^(=180o−ABC^)
=>ΔHBC∼ΔKDC(g.g)=>ΔHBC∼ΔKDC(g.g)
b)
Ta có:
BC⊥CK(BC//AD;AD⊥CK)BC⊥CK(BC//AD;AD⊥CK)
=>HCKˆ=90o+BCHˆ=>HCK^=90o+BCH^
Mà ABCˆ=90o+BCHˆABC^=90o+BCH^
=>HCKˆ=ABCˆ=>HCK^=ABC^
Mà CHCK=BCCD=BCAB(ΔHBC∼ΔKDC)CHCK=BCCD=BCAB(ΔHBC∼ΔKDC)
=>ΔABC∼ΔKCH(c.g.c)=>ΔABC∼ΔKCH(c.g.c)
c)
Kẻ BE⊥AC(E∈AC);DF⊥AC(F∈AC)BE⊥AC(E∈AC);DF⊥AC(F∈AC)
=>ΔABE∼ΔACH(g.g)=>ΔABE∼ΔACH(g.g)
=>AEAH=ABAC=>AEAH=ABAC
<=>AE.AC=AB.AH<=>AE.AC=AB.AH
T/tự, ta có: AF.AC=AD.AK(ΔADF∼ΔACK)AF.AC=AD.AK(ΔADF∼ΔACK)
Mà: AF=CE(ΔADF=ΔCBE(ch−gn))AF=CE(ΔADF=ΔCBE(ch−gn))
=>AB.AH+AD.AK=AE.AC+AF.AC=(AE+AF).AC=(AE+CE).AC=AC.AC=>AB.AH+AD.AK=AE.AC+AF.AC=(AE+AF).AC=(AE+CE).AC=AC.AC
cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. AO,BO,Co cắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Qua O kẻ đường song song với BC cắt DE,DF lần lượt tại N và M . CMR: OM=ON
Gọi T là giao điểm của DE và AB. Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt DA, DT lần lượt tại U, V.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC, cát tuyến TED, ta có:
\(\dfrac{TA}{TB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với AD, BE, CF đồng quy tại O, ta có:
\(\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\Leftrightarrow\dfrac{TA+FA}{TB}=\dfrac{2FA}{TB}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)
Mà theo định lý Thales:
\(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{FV}{BD}\) và \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FU}{BD}\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{FV}{BD}=\dfrac{2FU}{BD}\) \(\Rightarrow FV=2FU\) hay U là trung điểm FV.
Áp dụng bổ đề hình thang, ta dễ dàng suy ra O là trung điểm MN hay \(OM=ON\) (đpcm).
(Bổ đề hình thang phát biểu như sau: Trung điểm của 2 cạnh đáy, giao điểm của 2 đường chéo và giao điểm của 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên của một hình thang thì thẳng hàng. Chứng minh khá dễ, mình nhường lại cho bạn tự tìm hiểu nhé.)
Chỗ biến đổi này mình làm lại nhé:
Cần chứng minh: \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)
\(\Leftrightarrow TF.AB=2AF.TB\)
\(\Leftrightarrow\left(TA+AF\right)\left(AF+BF\right)=2AF\left(TA+AF+BF\right)\)
\(\Leftrightarrow TA.AF+TA.BF+AF^2+AF.BF=2TA.AF+2AF^2+2AF.BF\)
\(\Leftrightarrow TA.AF+AF^2+AF.FB=TA.BF\)
\(\Leftrightarrow AF\left(TA+AF+FB\right)=TA.BF\)
\(\Leftrightarrow AF.TB=TA.BF\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\) (luôn đúng)
Vậy \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)
cho tam giác đều ABC, O là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác.Qua O kẻ các đường thẳng song song với BC,CA,AB.Lần lượt căt CA ,AB,BC tại M,N,P
a)chứng minh rằng các tứ giác MOPC,OPBN,OMAN là hình thang cân.
b)so sánh OA+OB+OC với chu vi tam giác MNP
c)biết chu vi tam giác ABC bằng 18 cm.tính OM+ON+OP
Cho tam giác ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác. Từ M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB cắt AB, BC, CA lần lượt tại N,P,Q. Xác định vị trí của M để tam giác NPQ đều.khi đó hãy tính chu vi của tam giác NPQ theo đường cao AH của Tam giác ABC . giúp mình vs cảm ơn mọi người
Tham Khảo
3. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB và AD. Cmr
CH/CB=CK/CD
Tam giác CHK đồng dạng tam giác BCA
AB.AH + AD.AK= AC x AC
bài làm
Cho tam giác ABC đều và M nằm trong tam giác ABC.Từ M kẻ đường song song với BC;CA;AB cắt các cạnh AB;BC;CA lần lượt tại N;P;Q.Tìm vị trí điểm M để tam giác NPQ đều
Ta có: ^MPB = ^ACB = 600 => ^MPB = ^ABC hay ^MPB = ^NBP
Xét tứ giác BNMP có: MN // BP và ^MPB=^NBP => Tứ giác BNMP là hình thang cân
=> NP = BM. Tương tự: 2 tứ giác AQMN & CPMQ là htc => NQ=AM; PQ=CM
Ta thấy: \(\Delta\)NPQ là tam giác đều <=> NP=NQ=PQ <=> BM=AM=CM
<=> Điểm M cách đều 3 đỉnh A;B;C của \(\Delta\)ABC <=> M là tâm của tam giác đều ABC
Vậy khi M là tâm của \(\Delta\)ABC thì \(\Delta\)NPQ đều.
Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua O song song với BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON
