Đặt \(x^2+2y^2=m;y^2+2z^2=n;z^2+2x^2=p\)

Ta có :\(9\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\)

\(=\left(1+1+1\right)\left(m+n+p\right)\left(\frac{a^3}{m}+\frac{b^3}{n}+\frac{c^3}{p}\right)\ge\left(a+b+c\right)^3=1\)

do đó \(9\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\ge1\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\ge\frac{1}{9}\)(đpcm)

Xong rồi đấy,bạn k cho mình nhé

Bài 1 : 

Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

( xy+yz + zx )(9 + x²y² +z²y² + x²z² ) \(\ge\)36xyz 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 

xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)           ( 1) 

Và 9 + x²y² + z²y² + x²z² \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)

hay 9+ x²y² + z²y²+ x²z² \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\)                (2) 

Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :

( xy + yz +zx )( 9+ x²y² + z²y² + x²z² ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y  =z = 1 

Bài 2: 

\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)

Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

SORY I'M I GRADE 6

????????

mày hỏi vả bài kiểm tra à thằng điên 

tự ra câu hởi tự trả lời à bạn

tại tui trả lời bài này cho 1 bạn ở trên facebook nên phải chụp màn hình lại nên làm v á

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)

Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)

và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)

Xét BĐT phụ:  \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)

Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))

Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)

\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a²+b²+c²\(\ge\)2a(b+c)

Chứng minh:

Ta có 2a²+b²+c²=(a²+b²)+(a²+c²)

Áp dụng bđt cauchy ta có

(a²+b²)+(a²+c²)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)

Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(K\)

Với x, y, z > 0, ta có: \(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}< \frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow4-yz>0\)

Tương tự ta cũng có \(4-zx>0,4-xy>0\)

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành \(\frac{x^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{x^2+y^2+y^2+z^2}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{z^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-xy\right)}\ge4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(K\ge\frac{2xy+2xz}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{2xy+2yz}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{2xz+2yz}{xyz\left(4-xy\right)}\)\(=2\left[\frac{y+z}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{z+x}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{x+y}{xy\left(4-xy\right)}\right]\)\(=2\left[\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\right]+\)      \(2\left[\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\right]\) 

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương, ta có\(\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

\(\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Do đó \(K\ge\frac{12}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Mặt khác ta lại có: \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le\left(\frac{3xyz+12-xy-yz-zx}{4}\right)^4\)

Ta có bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge3\)\(\Leftrightarrow3xyz-xy-yz-zx\le0\)

Suy ra \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le3^4=81\) \(\Rightarrow\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}\le3\sqrt[3]{3}\)

Do đó \(K\ge\frac{12\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}}=4\)

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)

1) Đặt n+1 = k^2

2n + 1 = m^2

Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ 

Đặt m = 2t+1

=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2

=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1

=> n = 2t(t+1)

=> n là số chẵn

=> n+1 là số lẻ

=> k lẻ 

+) Vì k^2 = n+1

=> n = (k-1)(k+1)

Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (k+1)(k-1) chia hết cho * 

=> n chia hết cho 8

+) k^2 + m^2 = 3a + 2

=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1

=> m^2 - k^2 chia hết cho 3

m^2 - k^2 = a

=> a chia hết cho 3

Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> a chia hết cho 24

ấy nhầm, là n chứ không phải a nha :))