Theo đề bài, ta có:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

=> \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=6\\f\left(-1\right)=0\\f\left(2\right)=36\\f\left(-2\right)=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d=6\\a-b+c-d=0\\16a+8b+4c+2d=36\\16a-8b+4c-2d=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=2\\c=\frac{5}{2}\\d=1\end{matrix}\right.\) => f(x) = \(\frac{1}{2}x^4+2x^3+\frac{5}{2}x^2+x\)

Gọi đa thức bậc 2 cần tìm là f(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0 )

f(0) = 4 => c = 4

f(1) = 0 => a + b = -4 (1)

f(-1) = 6 => a - b = 2 (2)

Lấy (1) + (2) theo vế => 2a = -2 => a = -1 ( tm ) => b = -3

Vậy đa thức cần tìm là -x² - 3x + 4 

Ta có f(x) = ax² + bx + c

Khi đó f(0) = a.0² + b.0 + c = c

=> c = 4 (Vì f(0) = 4)

Lại có f(1) = a + b + c = 0

=> a + b + c = 0

=> a + b + 4 = 0

=> a + b = -4 (2)

Lại có f(-1) = a - b + c = 6

=> a - b = 2 (3)

Từ (2)(3) => a = -2 ; b = -2

Vậy đa thức bậc 2 tìm được là f(x) = -2x² - 2x + 4

G/s đa thức đó có dạng: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) \(\left(a\ne0\right)\)

Khi đó ta có:

\(f\left(0\right)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c\Rightarrow c=4\)

\(f\left(1\right)=a+b+c\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=-4\)

\(f\left(-1\right)=a-b+c\Leftrightarrow a-b+c=6\Rightarrow a-b=2\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b=-4\\a-b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-1\\b=-3\end{cases}}\)

Vậy đa thức đó là \(f\left(x\right)=-x^2-3x+4\)

1) 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\)( a khác 0 )

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c+d+e=0\)                                            (1)

\(f\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=0\)                              (2)

\(f\left(3\right)=81a+27b+9c+3d+e=0\)                           (3)

\(f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+e=6\)                      (4)

\(f\left(5\right)=625a+125b+25c+5d+e=72\)                (5)

\(A=f\left(2\right)-f\left(1\right)=15a+7b+3c+d=0\)

\(B=f\left(3\right)-f\left(2\right)=65a+19b+5c+d=0\)

\(C=f\left(4\right)-f\left(3\right)=175a+37b+7c+d=6\)

\(D=f\left(5\right)-f\left(4\right)=369a+61b+9c+d=72-6=66\)

\(E=B-A=50a+12b+2c=0\)

\(F=C-B=110a+18b+2c=6\)

\(G=D-C=194a+24b+2c=66-6=60\)

Tiếp tục lấy H=F-E; K=G-F; M=H-K

Ta tìm được a

Thay vào tìm được b,c,d,e

1. gọi đa thức cần tìm là f(x) =a.x^4+b.x^3+c.x^2+dx+e

có f(1)=f(2)=f(3) = 0 nên x=1,2,3 la nghiệm của f(x) = 0 vậy f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(mx+n) 

thay f(4)=6 và f(5)=72 tìm được m =2 và n= -7 

Vậy đa thức f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(2x-7) => e = (-1).(-2).(-3).(-7) = 42

Với x=2010 thì (a 2010^4+b.2010^3+c.2010^2+d.2010 ) luôn chia hết 10 vậy số dư f(2010) chia 10 = số dư d/10 = 2 (42 chia 10 dư 2).

2. Thiếu dữ liệu 

3. đa thức f(x) chia đa thức (x-3) có số dư là 2 =>bậc f(x) = bậc (x-3)=1 và f(x) = m.(x-3) +2=mx+2-3m (1)

...........................................(x+4)...................9..........................................f(x) = n(x+4) + 9=nx+4n+9 (2)

để (1)(2) cùng xảy ra thì m=n và (2-3m)=(4n+9) => m = n = -1 khi đó đa thức f(x) = -x +5 

Không hiếu dữ liệu cuối f(x) chia 1 đa thức bậc 2 lại có thương là 1 đa thức bậc 2? => vô lý 

lớp mình chưa hok đến đa thức bn ạ

Gọi đa thức bậc 3 là \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)

Ta có: \(f\left(0\right)=-3\Rightarrow d=-3\)

\(f\left(1\right)=-3\Rightarrow a+b+c+d=-3\Rightarrow a+b+c=0\) (1)

\(f\left(-1\right)=4\Rightarrow-a+b-c+d=4\Rightarrow-a+b-c=7\) (2)

Cộng (1) và (2) => 2b = 7 => b = \(\frac{7}{2}\)

Thay b=7/2 vào (2) => \(-a+\frac{7}{2}-c=7\Rightarrow-a-c=\frac{7}{2}\) (3)

\(f\left(2\right)=1\Rightarrow8a+4b+2c+d=1\Rightarrow2\left(4a+c\right)=1-4b-d\Rightarrow4a+c=-5\)  (4)

Cộng (3) và (4) => \(3a=-\frac{3}{2}\Rightarrow a=\frac{-1}{2}\Rightarrow c=-3\)

Vậy \(f\left(x\right)=\frac{-1}{2}x^3+\frac{7}{2}x^2-3x-3\)

Giả sử đa thức bậc 3 có dạng : \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)

Theo đề : \(f\left(0\right)=-3\)

             \(\Rightarrow a.o^3+b.0^2+c.0+d=-3\)

            \(\Rightarrow d=-3\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx-3\)

  * \(f\left(1\right)=-3\)

\(\Rightarrow a.1^3+b.1^2+c.1-3=-3\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\)       (1)

   *\(f\left(-1\right)=4\)

\(\Rightarrow a.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+c.\left(-1\right)-3=4\)

\(\Rightarrow-a+b-c=7\)    (2)

Lấy  (1) + (2) theo từng vế được : \(2b=7\Rightarrow b=\frac{7}{2}\)(3)

Thay (3) vào (1) \(\Rightarrow a+c=-\frac{7}{2}\)(4)

  *\(f\left(2\right)=1\)

 \(\Rightarrow a.2^3+\frac{7}{2}.2^2+c.2-3=1\)

\(\Rightarrow8a+14+2c=4\)

\(\Rightarrow8a+2c=-10\) 

\(\Rightarrow4a+c=-5\)(5)

Lấy (4) - (5) theo từng vế được:  \(-3a=-\frac{7}{2}-\left(-5\right)\)

                                                      \(\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\)

Thay vào (4) => c=-3

Vậy \(f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{2}x^2-3x-3\)

Lời giải:

Đặt $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a\neq 0; a,b,c\in\mathbb{R}$

Xét điều kiện $f(x)-f(x-1)=2x-6$

Cho $x=0\Rightarrow f(0)-f(-1)=-6\Rightarrow f(-1)=f(0)+6=8$

Cho $x=1\Rightarrow f(1)-f(0)=-4\Rightarrow f(1)=f(0)-4=-2$

Vậy $f(0)=2; f(1)=-2; f(-1)=8$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=2\\ a+b+c=-2\\ a-b+c=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=2\\ a=1\\ b=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức cần tìm là $x^2-5x+2$

Lời giải:

Đặt $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a\neq 0; a,b,c\in\mathbb{R}$

Xét điều kiện $f(x)-f(x-1)=2x-6$

Cho $x=0\Rightarrow f(0)-f(-1)=-6\Rightarrow f(-1)=f(0)+6=8$

Cho $x=1\Rightarrow f(1)-f(0)=-4\Rightarrow f(1)=f(0)-4=-2$

Vậy $f(0)=2; f(1)=-2; f(-1)=8$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=2\\ a+b+c=-2\\ a-b+c=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=2\\ a=1\\ b=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức cần tìm là $x^2-5x+2$