cho các số thực dương x, y thỏa mãn x+xy+y =8 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
cho 3 số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z<=3/2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Cho hai số dương x và y thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(8\left(x^8+y^8\right)+\frac{3}{xy}\)
Bài 1:Cho 1. Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Bài 2:Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(x+y\le2\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{7}{xy}+xy\)
Các bạn giải cho mình 1 bài là được rồi mà giải được cả 2 thì càng tốt
Giờ bạn cần bài này nữa không
1. Đặt A = x2+y2+z2
B = xy+yz+xz
C = 1/x + 1/y + 1/z
Lại có (x+y+z)2=9
A + 2B = 9
Dễ chứng minh A>=B
Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)
Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1
C = (x+y+z) /3x + (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z
C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x)
Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2
=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)
P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1
Vậy ...........
Câu 2 chưa ra thông cảm
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y<=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\left(\frac{1}{X} +\frac{1}{Y}\right).\sqrt{1+X^2Y^2}\)
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 . Tìm giá trị nhỏ hất của biểu thức \(E=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(E= {\sum {(yz)^2 \over xy+zx}}\)>=3/2 (AD BĐT Nesbit)
Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1
đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\)
Ta có : \(x+y=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=c\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(y+z=a\left(b+c\right);x+z=b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của E là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1 cách khác Engel nữa,
\(E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2=\left(\frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}.\sqrt{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b}\right)^2\)
\(\le\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)\left(2a+2b+2c\right)\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy ....
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3xyz.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{yz}{x^3\left(z+2y\right)}+\frac{zx}{y^3\left(x+2z\right)}+\frac{xy}{z^3\left(y+2x\right)}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y=z-1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^3y^3}{\left(x+1\right)^3\left(y+1\right)^3\left(x+y\right)^2}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24