Từ BĐT \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) ta suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) và \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Ta có : \(P=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}=20\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\ge20.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{80}{4}+\frac{4}{4}=21\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

Vậy Min P = 21 khi x = y = 1

Ta có :

\(P=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}\)

\(=20.\left[\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right]+\frac{1}{xy}\)

\(\ge20\cdot\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge20\cdot\frac{4}{2^2}+\frac{4}{2^2}=21\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy \(P_{min}=21\) khi \(x=y=1\)

Ta có:

\(P=20\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\)

\(\ge20\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge21\)

\(\Rightarrow P\ge21\)

Dấu = khi x=y=1

@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))

Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)

Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y

Bài làm:

Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)

Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)

Học tốt!!!!

Dạ đây là bất đẳng thức Cô-si ạ, bạn có thể chứng minh bằng cách sau:

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\left(\forall xy\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}\ge\sqrt{4xy}\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Bạn áp dụng bất đẳng thức trên vào bài làm là được ạ!

Ta có : \(S=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}\)

\(=\left(\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{10}{xy}\right)+\frac{1}{xy}\)

\(=\left(\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{20}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}=20.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\)

Áp dụng BĐT Svacxo ta có : 

\(20\cdot\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\ge20\cdot\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=20\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge20\cdot\frac{4}{2^2}=20\)

Mặt khác có : \(0< xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{2^2}{4}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge1\)

Do đó : \(S\ge20+1=21\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Ez right??

Ta có : \(P=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}=20\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) được \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

Lại có : \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

Suy ra : \(P\ge20+1=21\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}x,y>0\\x+y=2\\x=y\\x^2+y^2=2xy\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy MIN P = 21 <=> x = y = 1

Đặt \(\hept{\begin{cases}2x=a\left(a>0\right)\\3y=b\left(b>0\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2x+3y=a+b\le2,x.y=\frac{ab}{6}\)

\(\Rightarrow P=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{9}{\frac{ab}{6}}=\frac{4}{a^2+b^2}\ne\frac{54}{ab}\)

Vì \(a>0,b>0\)

Nên áp dụng BĐT cô-si ta có:\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Mà \(a+b\le2\Rightarrow2\sqrt{ab}\le2\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x > 0 , y > 0 

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge1\)

\(\Rightarrow\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge4\)

\(\Rightarrow P=\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}+\frac{52}{ab}\)

\(P\ge4+52=56\)

\(\Rightarrow MinP=56\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=2\\a.b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{a=b=1\Leftrightarrow2x=3y=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}}\)