\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\left(\dfrac{x}{3y}+3xy+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+12\left(xy+\dfrac{1}{9}\right)-2\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+4\sqrt[4]{\dfrac{3x^2y}{27y}}+12.2\sqrt{\dfrac{xy}{9}}-2\)

\(P\ge4\sqrt{\dfrac{x}{3}}+8\sqrt{xy}=4\left(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}\right)=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)

a. \(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\). Thay vào ta được:

\(A=\left(1-2y\right)^2+2y^2=1-4y+4y^2+2y^2=6y^2-4y+1=6\left(y^2-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{3}\right)=6\left(y^2-2.y.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{4}{3}=\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{4}{3}\)\(\Rightarrow Min_A=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{3}\)

b. \(4x-3y=7\Rightarrow x=\dfrac{7+3y}{4}\) Thay vào ta được:

\(2.\left(\dfrac{7+3y}{4}\right)^2+5.y^2=2.\left(\dfrac{49+42y+9y^2}{16}\right)+5y^2=\dfrac{98+84y+18y^2+80y^2}{16}=\dfrac{98y^2+84y+98}{16}=\dfrac{98\left(y^2+\dfrac{6}{7}y+\dfrac{9}{49}\right)+80}{16}=\dfrac{98\left(y+\dfrac{3}{7}\right)^2+80}{16}\ge5\)\(\Rightarrow Min_B=5\Leftrightarrow x=\dfrac{10}{7};y=-\dfrac{3}{7}\)

c. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a^3 + b^3. - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Viết được bao nhiêu chữ số có 3 chữ số mà mỗi số chỉ có duy nhất 1 chữ số 4? 

mình k'o hiểu lắm . Nếu mình thì mình đã giúp bạn rồi .Cho mình xin lỗi

Sửa thành tìm GTLN nhé !

Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :

\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:

\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)

\(4x-3y=7\Leftrightarrow x=\frac{3y+7}{4}\)

Thay vào ta được :

\(2\cdot\left(\frac{3y+7}{4}\right)^2+5y^2\)

\(=\frac{9y^2+42y+49}{8}+\frac{40y^2}{8}\)

\(=\frac{49y^2+42y+49}{8}\)

\(=\frac{\left(7y\right)^2+2\cdot7y\cdot3+3^2+40}{8}\)

\(=\frac{\left(7y+3\right)^2+40}{8}\ge\frac{40}{8}=5\forall y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{10}{7}\\y=-\frac{3}{7}\end{cases}}\)

thay y = \(\frac{4x-7}{3}\)vào A = 2x² + 5y² , ta được

9A = 98x² - 280x + 245 = 2 . ( 7x - 10 )² + 45 \(\ge\)45

\(\Rightarrow\)A \(\ge\)5

Vậy min A = 5 \(\Leftrightarrow x=\frac{10}{7};y=-\frac{3}{7}\)

\(4^2=8\) à

\(\Rightarrow7C\ge49\Rightarrow C\ge7\)

Min C = 7 khi x = y = 1 (Vì không cho điều kiện của x,y nên kết quả có thể sai)