bài giảng

CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN

A. MỤC TIÊU:

* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức

* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương…

* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể

B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:

I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết

1. Kiến thức:

* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó

* Chú ý:

+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k

+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m

+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:

2. Bài tập:

2.1. Các bài toán

Bài 1: chứng minh rằng

a) 2⁵¹ - 1 chia hết cho 7                      b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ chia hết cho 13

c) 17¹⁹ + 19¹⁷ chi hết cho 18              d) 36⁶³ - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

e) 2⁴ⁿ  -1 chia hết cho 15 với nÎ N

Giải

a) 2⁵¹ - 1 = (2³)¹⁷ - 1  2³ - 1 = 7

b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ (2²)³⁵ + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵  4 + 9 = 13

c) 17¹⁹ + 19¹⁷ =  (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

17¹⁹ + 1  17 + 1 = 18 và 19¹⁷ - 1  19 - 1 = 18 nên  (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

hay 17¹⁹ + 19¹⁷  18

d) 36⁶³ - 1  36 - 1 = 35  7

     36⁶³ - 1 = (36⁶³ + 1) - 2  chi cho 37 dư - 2

e) 2 ⁴ⁿ - 1 = (2⁴) ⁿ - 1  2⁴ - 1 = 15

Bài 2: chứng minh rằng

a)  n⁵ - n chia hết cho 30 với n Î N    ;   

b) n⁴ -10n²  + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nΠ Z

c) 10ⁿ  +18n -28 chia hết cho 27 với nÎ N  ; 

Giải:

a) n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n² + 1) chia hết cho 6 vì

(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)

Mặt khác     n⁵ - n = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n² - 1).(n² - 4 + 5) = n(n² - 1).(n² - 4 ) + 5n(n² - 1)

                = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n² - 1)

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

     5n(n² - 1) chia hết cho 5

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n² - 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

b) Đặt A = n⁴ -10n²  + 9 = (n⁴ -n² ) - (9n² - 9) =  (n² - 1)(n² - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k  Z) thì

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)  A chia hết cho 16 (1)

Và  (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

c) 10 ⁿ  +18n -28 =  ( 10 ⁿ - 9n - 1) + (27n - 27)

+ Ta có: 27n - 27  27 (1)

+ 10 ⁿ - 9n - 1 = [( + 1) - 9n - 1] =   - 9n  = 9(  - n)  27 (2)

vì 9  9 và  - n  3 do  - n  là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

a) a³ - a  chia hết cho 3

b) a⁷ - a  chia hết cho 7

Giải

a) a³ - a  = a(a² - 1) =  (a - 1) a (a + 1)  là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên  (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3

b) ) a⁷ - a  = a(a⁶ - 1) = a(a² - 1)(a² + a + 1)(a² -  a + 1)

Nếu a = 7k (k  Z) thì a chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 1 (k Z)  thì a² - 1 = 49k² + 14k  chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 2 (k Z)  thì a² + a + 1 = 49k² + 35k  + 7 chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 3 (k Z)  thì a² - a + 1 = 49k² + 35k  + 7 chia hết cho 7

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7

Vậy: a⁷ - a  chia hết cho 7

Bài 4: Chứng minh rằng  A = 1³ + 2³ + 3³ + ...+ 100³ chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Giải

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

Ta có: A = (1³ + 100³) + (2³ + 99³) + ... +(50³ + 51³)

= (1 + 100)(1² + 100 + 100²) + (2 + 99)(2² + 2. 99 + 99²) + ... + (50 + 51)(50² + 50. 51 + 51²) = 101(1² + 100 + 100² + 2² + 2. 99 + 99² + ... + 50² + 50. 51 + 51²) chia hết cho 101 (1)

Lại có:    A = (1³ + 99³) + (2³ + 98³) + ... + (50³ + 100³)

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B

Bài tập về nhà

Chứng minh rằng:

a) a⁵ – a chia hết cho 5

b) n³ + 6n² + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr  a² – 1 chia hết cho 24

d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a³ + b³ + c³ chia hết cho 6

e) 2009²⁰¹⁰  không chia hết cho 2010

f) n² + 7n + 22  không chia hết cho 9

Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia

Bài 1:

Tìm số dư khi chia 2¹⁰⁰

a)cho 9,                     b) cho 25,               c) cho 125

Giải

a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2³ = 8 = 9 - 1

Ta có : 2¹⁰⁰ = 2. (2³)³³ = 2.(9 - 1)³³ = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7

Vậy: 2¹⁰⁰ chia cho 9 thì dư 7

b) Tương tự ta có:  2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ =  [B(25) - 1]¹⁰  =  B(25) + 1

Vậy: 2¹⁰⁰ chia chop 25 thì dư 1

c)Sử dụng công thức Niutơn:

2¹⁰⁰ = (5 - 1)⁵⁰ = (5⁵⁰  - 5. 5⁴⁹ + … + . 5² - 50 . 5 ) + 1

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 5³  = 125, hai số hạng tiếp theo: . 5² -  50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1

Vậy: 2¹⁰⁰ = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1

Bài 2:

Viết số 1995¹⁹⁹⁵ thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

Giải

Đặt 1995¹⁹⁹⁵ = a = a₁ + a₂ + …+ a_n.  

Gọi  =  + a - a

           = (a₁ ³ - a₁) + (a₂ ³ - a₂) + …+ (a_n ³ - a_n) + a

Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6

1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3

Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân

giải

Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2¹⁰⁰ cho 1000

Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2¹⁰⁰ cho 125

Vận dụng bài 1 ta có 2¹⁰⁰ = B(125) + 1 mà 2¹⁰⁰ là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể  là 126, 376, 626 hoặc 876

Hiển nhiên 2¹⁰⁰ chia hết cho 8 vì 2¹⁰⁰ = 16²⁵ chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8

trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8

Vậy: 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376

Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7

a) 22²² + 55⁵⁵                           b)3¹⁹⁹³

c) 1992¹⁹⁹³ + 1994¹⁹⁹⁵              d)

Giải

a) ta có: 22²² + 55⁵⁵ = (21 + 1)²² + (56 – 1)⁵⁵ = (BS 7 +1)²² + (BS 7 – 1)⁵⁵

= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên  22²² + 55⁵⁵  chia 7 dư 0

b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 3³ = BS 7 – 1

Ta thấy 1993 =  BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:

 3¹⁹⁹³ = 3 ^{6k + 1} = 3.(3³)^2k = 3(BS 7 – 1)^2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3

c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:

 1992¹⁹⁹³ + 1994¹⁹⁹⁵ = (BS 7 – 3)¹⁹⁹³ + (BS 7 – 1)¹⁹⁹⁵ =  BS 7 – 3¹⁹⁹³ + BS 7 – 1

Theo câu b ta có 3¹⁹⁹³ = BS 7 + 3 nên 

 1992¹⁹⁹³ + 1994¹⁹⁹⁵ = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3

d)  = 3²⁸⁶⁰ = 3^{3k + 1} = 3.3^3k = 3(BS 7 – 1) =  BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4

Bài tập về nhà  

 Tìm  số d ư khi:

a) 2¹⁹⁹⁴ cho 7

b) 3¹⁹⁹⁸ + 5¹⁹⁹⁸ cho 13

c) A =  1³ + 2³ + 3³ + ...+ 99³ chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99         

Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết

Bài 1: Tìm  n  Z để giá trị của biểu thức A = n³ + 2n² - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n² - n

Giải

Chia A cho B ta có: n³ + 2n² - 3n + 2  = (n + 3)(n² - n) + 2

Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n² - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:

Vậy: Để  giá trị của biểu thức A = n³ + 2n² - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức

B = n² - n thì n

Bài 2:

a) Tìm n  N để n⁵ + 1 chia hết cho n³  + 1

b) Giải bài toán trên nếu n  Z

Giải

Ta có:  n⁵  + 1  n³ + 1  n²(n³ + 1) - (n² - 1)  n³ + 1  (n + 1)(n - 1)  n³ + 1

  (n + 1)(n - 1)  (n + 1)(n² - n + 1)  n - 1  n² - n + 1  (Vì n + 1  0)

a) Nếu n = 1 thì  0 1

Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 <  n² - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1  n² - n + 1 

Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1

b) n - 1  n² - n + 1  n(n - 1)  n² - n + 1  (n² - n + 1 ) - 1  n² - n + 1

 1  n² - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:

+ n² - n + 1 = 1  n(n - 1) = 0  (Tm đề bài)

+ n² - n + 1 =  -1  n² - n + 2 = 0 (Vô nghiệm)

Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:

a) n² + 2n - 4  11                                       b) 2n³ + n² + 7n + 1  2n - 1

c) n⁴ - 2n³ + 2n² - 2n + 1  n⁴ - 1                d) n³ - n² + 2n + 7  n² + 1

Giải

a) Tách n² + 2n - 4  thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)

n² + 2n - 4  11  (n² - 2n - 15) + 11  11 (n - 3)(n + 5) + 11  11

 (n - 3)(n + 5)   11

b) 2n³ + n² + 7n + 1 = (n² + n + 4) (2n - 1) + 5

Để  2n³ + n² + 7n + 1  2n - 1 thì 5  2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 

Vậy:  n   thì 2n³ + n² + 7n + 1  2n - 1

c) n⁴ - 2n³ + 2n² - 2n + 1  n⁴ - 1

Đặt A =  n⁴ - 2n³ + 2n² - 2n + 1 = (n⁴ - n³) - (n³ - n²) + (n² - n) - (n - 1)

= n³(n - 1) - n²(n - 1) + n(n - 1)  -  (n - 1) = (n - 1) (n³ - n² + n - 1) = (n - 1)²(n² + 1)

B = n⁴ - 1 = (n - 1)(n + 1)(n² + 1)

A chia hết cho b nên n   1  A chia hết cho B  n - 1  n + 1  (n + 1) - 2  n + 1

  2  n + 1   

Vậy: n   thì  n⁴ - 2n³ + 2n² - 2n + 1  n⁴ - 1 

d) Chia n³ - n² + 2n + 7 cho n² + 1 được thương là  n - 1, dư  n + 8

Để n³ - n² + 2n + 7  n² + 1 thì  n + 8  n² + 1  (n + 8)(n - 8)  n² + 1 65  n² + 1

Lần lượt cho n² + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8

Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8  (T/m)

Vậy: n³ - n² + 2n + 7  n² + 1 khi n = 0, n = 8

Bài tập về nhà:

Tìm số nguyên  n để:

a) n³ – 2 chia hết cho n – 2

b) n³ – 3n² – 3n – 1 chia hết cho n² + n + 1

c)5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 63

Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết

Bài 1: Tìm n  N sao cho 2ⁿ – 1 chia hết cho 7

Giải

Nếu n = 3k ( k  N) thì 2ⁿ – 1 = 2^3k – 1 = 8^k  - 1 chia hết cho 7

Nếu n = 3k + 1 ( k  N) thì 2ⁿ – 1 = 2^{3k + 1}  – 1 = 2(2^3k – 1) + 1 = BS 7 + 1

Nếu n = 3k + 2 ( k  N) thì 2ⁿ – 1 = 2^{3k + 2}  – 1 = 4(2^3k – 1) + 3 = BS 7 + 3

V ậy: 2ⁿ – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3

Bài 2: Tìm n  N để:

a) 3ⁿ – 1 chia hết cho 8

b) A = 3^{2n  + 3} + 2^{4n + 1} chia hết cho 25

c) 5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 9

Giải

a) Khi n = 2k (k N) thì 3ⁿ – 1 = 3^2k – 1 = 9^k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8

   Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3ⁿ – 1 = 3^{2k + 1}  – 1 = 3. (9^k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2

Vậy : 3ⁿ – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)

b) A = 3^{2n  + 3} + 2^{4n + 1} = 27 . 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ =  (25 + 2) 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ = 25. 3²ⁿ  + 2.3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ

          = BS 25 + 2(9ⁿ  + 16ⁿ)

Nếu n = 2k +1(k N) thì 9ⁿ  + 16ⁿ = 9^{2k + 1} + 16^{2k + 1} chia hết cho 9 + 16 = 25

Nếu n = 2k  (k N) thì 9ⁿ có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16ⁿ có chữ số tận cùng bằng 6

suy ra 2((9ⁿ  + 16ⁿ) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25

c) Nếu n = 3k (k N) thì 5ⁿ – 2ⁿ =  5^3k – 2^3k chia hết cho 5³ – 2³ = 117 nên chia hết cho 9

    Nếu n = 3k + 1 thì 5ⁿ – 2ⁿ =  5.5^3k – 2.2^3k = 5(5^3k – 2^3k) + 3. 2^3k = BS 9 + 3. 8^k

= BS 9 + 3(BS 9 – 1)^k = BS 9 + BS 9 + 3

Tương tự:  nếu n = 3k + 2 thì 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9

ko biết

đê 2n+1 là ước của 10n+5 thì 10n+5 phai chia hết cho 2n+1. 

ta có 10n+5=5(2n+1)

vậy 10n + 1 luôn chia hết cho 2n+1 với mọi n thuộc Z 

Ta co :

10n+5(2n+1)

Vay 10n+1 luon chia het cho 2n+1 voi moi n thuoc Z

Vì 2n+1 là ước của 10n+5

=>10n+5 chia hết cho 2n+1

=>5(2n+1) chia hết cho 2n+1

=>5 chia hết cho 2n+1

=>2n+1 là ước của 5

Ta có:ước của 5 là 1,5

=>Ta có bảng giá trị:

Vậy n =0 hoặc n=2

Mình chưa chắc đã đúng đâu vì bài này mình chỉ làm linh tinh thôi,2 giá trị mình tìm trên là đúng nhưng nhỡ đâu vẫn còn nữa,cậu suy nghĩ rồi làm tiếp nhé ^_^

Câu đầu tiên mình không hiểu đề cho lắm . Đôi một khác nhau và khác 0 ???

b ) Gọi số cần tìm là abc9

9bca - abc9 = 2889

( 9000 + 100b + 10c + a ) - ( 1000a + 100b + 10c + 9 ) = 2889

( 9000 + a ) - ( 1000a + 9 ) = 2889

8991 - 999a = 2889

=> 999a = 6102

Bạn xem lại đề nhé . 

a.1111111...1 = 10^(n-1) + 10^(n-2) +....1 (gồm n số 1) 
10^n chia 9 dư 1 => 10^(n-1) = 9.k(n-1) + 1 
10^(n-1) chia 9 dư 1 => 10^(n-2) = 9.k(n-2) +1 
..... 
10 chia 9 dư 1 => 10 = 9.k1 + 1 (ở đây k1=3) 
=>11111....1 = 9.(k1 + k2 +... + k(n-1)) +(1+1+...+1) (gồm n số 1) 
= 9.A + n 
=>8n + 11111...1= 9A +9n chia hết cho 9 
b.11111111....1 (gồm 27 số 1) 
= 1111...100.....0 + 11111...10000...0 + 1111...1 
-------------------------- ----------------------- ----------- 
9chữsố1;18chữsố 0 9chữsô1;9chữsố0 9chữsô1 
=111111111 x (10^18 + 10^9 +1) 
ta có: 111111111 chia hết cho 9 (tổng các chữ số =9) 
10^18 chia 3 dư 1 
10^9 chia 3 sư 1 
=> 10^18 + 10^9 +1 chia hết cho 3 
vậy 1111.....1111 chia hết cho 27 (gồm 27 số 1)

Bạn có thể làm lại không bạn 

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương 
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . 
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

\(\frac{10n-3}{4n-3}\)=\(\frac{10n-6+3}{5n-3-n}\)=\(\frac{2\left(5n-3\right)+3}{5n-3-n}\)=2+\(\frac{3}{5n-3-n}\)

vậy 10n-3/4n-3 lớn nhất khi \(\frac{3}{5n-3-n}\)lớn nhất 

khi 5n-3-n bé nhất

5n-3-n=4n-3 bé nhất

4n-3 là số nguyên dương bé nhất =>4n-3=1

n=4

\(\frac{10n-3}{4n-3}\)hay10-\(\frac{3}{4n}\)-3 vậy bạn