\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)}{a^2b^2}=\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\)

ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0;a^2+ab+b^2>0;a^2b^2>0\)

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)  ( 1 )

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)     ( 2 )

\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 ) 

( Dấu " = " xảy ra khi x = y ) 

Chúc bạn học tốt !!!

trọn hết giây cuối cùng, hưởng thụ trước khi chết

mik sẽ vặn ngược kim đồng hồ trở lại trc công nguyên

Vì a , b > 0 \(\Rightarrow a^3+b^3>a^3>a^3-b^3\) theo giả thiết ta có :

\(a-b>a^3-b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)>\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

                                     \(\Leftrightarrow1>a^2+ab+b^2>a^2+b^2\)

                                       \(\Leftrightarrow1>a^2+b^2\left(đpcm\right)\)

     Chúc bạn học tốt !!!

giải

Vì a , b > 0 \Rightarrow a^3+b^3>a^3>a^3-b^3⇒a3+b3>a3>a3−b3 theo giả thiết ta có :

a-b>a^3-b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)>\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)a−b>a3−b3⇔(a−b)>(a−b)(a2+ab+b2)

                                     \Leftrightarrow1>a^2+ab+b^2>a^2+b^2⇔1>a2+ab+b2>a2+b2

                                       \Leftrightarrow1>a^2+b^2\left(đpcm\right)⇔1>a2+b2(đpcm)

Với mọi \(x\in R\) ta có :

\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2a}{2\left(a^2+1\right)}\le\frac{a^2+1}{2\left(a^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2a\le a^2+1\) ( do \(2\left(a^2+1\right)>0\) )
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng :

Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\) với mọi \(a\in R\)

Chúc bạn học tốt !!!

Miền giá trị thử ạ:)

Đặt \(f=\frac{a}{a^2+1}\)

Ta có:\(f\left(a^2+1\right)=a\)

\(\Leftrightarrow fa^2+f-a=0\)

Với \(f=0\Rightarrow a=0\)

Với \(f\ne0\) thì \(f\) là pt bậc 2 ẩn a nên \(\Delta_a=1-4f^2\ge0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le\left|f\right|\le\frac{1}{2}\)

\(\left|f\right|\le\frac{1}{2}\) Dấu "=" xảy ra tại \(a=\frac{1}{2f}=1\)

P/S:E mới học nên ko chắc đâu ạ

a²+b²+c²=ab+ac+bc

<=>2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc

<=>a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc=0

<=>(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0

<=>a-b=0 và a-c=0 và b-c=0

<=>a=b=c