Lời giải:

\(A=8n+\underbrace{11....111}_{n}=8n+\frac{\underbrace{99....999}_{n}}{9}=8n+\frac{10^n-1}{9}\)

Quy nạp

Ta thấy:

\(n=1\Rightarrow A_1=9\vdots 9\)

\(n=2\Rightarrow A_2=27\vdots 9\)

......

Giả sử điều trên đúng với \(n=k\), tức là \(A_k=8k+\frac{10^k-1}{9}\vdots 9\), giờ ta cần chứng minh bài toán đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:\(A_{k+1}=8(k+1)+\frac{10^{k+1}-1}{9}=8k+8+\frac{10(10^k-1)+9}{9}\)

\(A_{k+1}=8k+\frac{10^k-1}{9}+(10^k-1)+9\)

Có: \(8k+\frac{10^k-1}{9}=A_{k}\vdots 9\)

\(10^k-1=10^k-1^k=(10-1)(10^{k-1}+...+1)\vdots 9\)

\(9\vdots 9\)

\(\Rightarrow A_{k+1}\vdots 9\)

Vậy kết quả quy nạp đúng. ta có đpcm.

Ta thấy: 11...1 ( n chữ số 1) có tổng = n nên:
8n +n = n x ( 8+1 ) = n x 9 chia hết cho 9 
Vậy A chia hết cho 9