1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

1/ \(x^3+2=3\sqrt[3]{3x-2}\)

Đặt \(\sqrt[3]{3x-2}=a\) thì ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}x^3+2-3a=0\\a^3+2-3x=0\end{cases}}\)

Lấy trên - dưới ta được

\(x^3-a^3+3x-3a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=a\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3x-2}\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

2/ \(x+\sqrt{5-x^2}+x\sqrt{5-x^2}=5\)

Đặt \(\sqrt{5-x^2}=a\ge0\) thì ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}x+a+ax=5\\a^2+x^2=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+a+ax=5\\\left(a+x\right)^2-2ax=5\end{cases}}\)

Tới đây thì đơn giản rồi. Đặt \(\hept{\begin{cases}a+x=S\\ax=P\end{cases}}\) giải tiếp sẽ ra

Bài làm:

Ta có: \(P=\frac{2x-1}{x-1}=\frac{\left(2x-2\right)+1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}\)

Để P đạt GTLN

=> \(\frac{1}{x-1}\) đạt GTLN => \(x-1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất

Mà x nguyên => x - 1 nguyên

=> \(x-1=1\Rightarrow x=2\)

Vậy Max(P) = 3 khi x = 2

\(P=\frac{2x-1}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)+1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}\)( ĐKXĐ : x khác 1 )

Để P đạt GTLN => \(\frac{1}{x-1}\)đạt GTNN

=> x - 1 là số dương nhỏ nhất

=> x - 1 = 1

=> x = 2 ( tmđk )

Vậy P_Max = \(2+\frac{1}{2-1}=2+1=3\), đạt được khi x = 2

Mình không chắc nha -.-

\(P=\frac{2x-1}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)+1}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}\)

Để \(P\)đạt giá trị lớn nhất thì \(2+\frac{1}{x-1}\)đạt giá trị lớn nhất 

Suy ra x-1 phải bé nhất 

Mà do \(x\inℤ\)nên x-1 đạt giá trị dương nhỏ nhất 

\(< =>x-1=1< =>x=2\)

Vậy \(Max_P=2+1=3\)khi \(x=2\)

a) Ta có: 

Để M = \(\frac{x+3}{2}\)\(\in\)Z <=> \(x+3⋮2\) <=> \(x+3\in\)B(2) = {0; 2; 4; ....}

                                                           <=> \(x\in\){-3; -1; 1; ....}

b) Để N = \(\frac{7}{x-1}\)\(\in\)Z <=> \(7⋮x-1\) <=> \(x-1\in\)Ư(7) = {1; -1; 7; -7}

Lập bảng :

Vậy ...

c) Ta có: P = \(\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}\)

Để P \(\in\)Z <=> \(2⋮x+1\) <=> \(x+1\in\)Ư(2) = {1; -1; 2; -2}

Lập bảng: 

Vậy ...

để M nguyên thì \(\frac{x+3}{2}\) nguyên 

=> (x+3) \(\in\)Ư(2)={-2:-1:1:2}

lập bảng ra tìm x nha bn ~!!

mấy ý kia tương tự !

a) \(M=\frac{x+3}{2}\in Z\)

=> x+3 chia hết cho 2

=> x+3 thuộc Ư(2)={-1,-2,1,2}

=> x thuộc {-4,-5,-2,-1}

b) \(N=\frac{7}{x-1}\in Z\)

=> x-1 thuộc Ư(7)={-1,-7,1,7}

=> x thuộc {0,-6,2,8}

Để A là số nguyên thì 2\(⋮\)n-1

=> n-1 \(\in\)Ư(2)= {1;2; -1; -2}

n\(\in\){2;3 ;0; 1}

Vậy...

\(A=\frac{2}{n-1}\) Để A nguyên => 2 \(⋮\)n -  1

=> n - 1 \(\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Ta lập bảng

Ta có: 2/n-1 là số nguyên, n thuộc Z

 => 2 chia hết cho n-1

 => n-1 là ước của 2

 Ư(2)={1;-1;2;-2}

 Bảng tìm n thuộc Z thỏa mãn bài toán

  Vậy: tập giá trị x cần tìm {2;0;3;-1}

Giải: 
A = (4n + 5) / (5n + 4) 

Giả sử (4n + 5) và (5n + 4) đều chia hết số nguyên tố d 

=> 5(4n + 5) - 4(5n + 4) chia hết cho d 

Mà 5(4n + 5) - 4(5n + 4) = 9 

=> 9 chia hết cho d 

=> d có thể là số 3 ( vì d là số nguyên tố) 



Nếu (5n + 4) chia hết cho 3 thì (4n + 5) cũng sẽ chia hết cho 3 
nên ta chỉ cần xét (5n + 4) chia hết cho 3 

♥ xét trường hợp (5n + 4) chia hết cho 3 
Do (5n + 4) chia hết cho 3 
=> [ (5n + 4) + 6 ] chia hết cho 3 ( vì 6 cũng chia hết cho 3) 
=> [ 5(n + 2) ] chia hết cho 3 
=> (n + 2) chia hết cho 3 ( do 5 không chia hết cho 3) 

=> (n + 2) = 3k ( với k thuộc N ) 
=> n = 3k - 2 ( với k thuộc N ) 


Vậy : n = 3k - 2 ( với k thuộc N ) thì A có thể rút gọn được. 



+++++++++++ 
Thử lại xem . Ví dụ : cho k = 2 => n = 4 
=> A = (4.4 + 5) / (5.4 + 4) = 21/24 

A có thể rút gọn : A = 7/8 

♪_♫ Một phân số chỉ có thể rút gọn khi Ước số chung của mẫu số và tử số khác 1 và -1

ta co tu suy nghi 

nếu đúng cho mình một k

câu 2

\(...=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}=\left|2-\sqrt{5}\right|-\left|2+\sqrt{5}\right|=-4\)

câu 1

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{x+9}{\left(3-\sqrt{x}\right)\left(3+\sqrt{x}\right)}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}\left(3-\sqrt{x}\right)+x+9}{\left(3+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)\)

\(=\frac{3\sqrt{x}+9}{\left(3+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}:\frac{2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{3}{\left(3-\sqrt{x}\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{2\sqrt{x}+4}=\frac{-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+4}\)

\(P< -1\Leftrightarrow\frac{-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+4}+1< 0\Leftrightarrow-\sqrt{x}+4< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}>4\Leftrightarrow x>16\)

với x\(\inℤ\)