\(a^3+3a^2+2a=a\left(a^2+3a+2\right)\)

\(=a\left(a^2+2a+a+2\right)\)

\(=a\left[a\left(a+2\right)+\left(a+2\right)\right]=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Tích 3 số liên tiếp chia hết cho 3 và có 1 số chẵn và (2,3) = 1 nên \(a^3+3a^2+2a⋮6\left(đpcm\right)\)

a)a(a-1) chia hêt 2

b) a(a^2-1)=(a-1)a(a+1) chia hết 3

c) a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)=a(a^2-1)(a^2-4+5)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5a(a^-1) chia hết 5

đây là định lí nhỏ Phéc-ma a^n-a chia hết n

a) a²-a=a(a-1)

Vì a,a-1 là 2 số nguyên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=>đpcm

b)a³-a=a(a²-1)=a(a-1)(a+1)

Vì a,a-1,a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3

=>đpcm

c)a⁵-a=a(a⁴-1)=a(a²-1)(a²+1)=a(a-1)(a+1)(a²+1)=a(a-1)(a+1)(a²-4+5)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)

Ta có

      a,a-1,a+1,a-2,a+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5

      5a(a-1)(a+1) chia hết cho 5( 5 chia hết cho 5)

=>đpcm

Đặt \(m=3k+r\)với \(0\le r\le2\)        \(n=3t+s\)với \(0\le s\le2\)

\(\Rightarrow x^m+x^n+1=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1=x^{3k}+x^r-x^r+x^{3t}x^s-x^s+x^r+x^s+1\)

\(=x^r\left(x^{3k}-1\right)+x^s\left(x^{3t}-1\right)+x^r+x^s+1\)

Ta thấy : \(\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)và \(\left(x^{3t}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

Vậy : \(\left(x^m+x^n+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)với \(0\le r;s\le2\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}r=2\\r=1\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}s=1\\s=2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=3k+2\\m=3k+1\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}n=3t+1\\n=3t+2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\\mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(mn-2\right)⋮3\)Điều phải chứng minh 

Áp dụng : \(m=7;n=2\Rightarrow mn-2=12:3\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right):\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)