Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8.Chứng minh tam giác đó đều
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)
Ta có
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều
Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)
\(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 (2)
Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: a,b,c. Thỏa mãn điều kiện a3+b3+c3= 3abc. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: a^3+ b^3+c^3 =3abc. Chứng minh: Tam giác đó đều.
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a2+b2+c2-ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c đều lớn hơn 0
\(\Rightarrow a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) \(\left(1\right)\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(với mọi a,b,c)
Để được (1) thì:
\(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)( tam giác đều) \(\left(\text{Đ}PCM\right)\)
Cho abc là 3 độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi là 1 thỏa mãn a/1-a + b/1-b + c/1-c = 3/2.Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.Giúp tớ nhanh nhé!Cảm ơn nhiều!
Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c
=> p - a = (a + b + c)/2 - a
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2
=> p - a = (b + c - a)/2
=> 2(p - a) = b + c - a (1)
Tương tự ta chứng minh được:
2(p - b) = a + c - b (2)
2(p - c) = a + b - c (3)
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b)
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ]
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ]
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Ta có: (x - y)² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy
<=> (x + y)² ≥ 4xy
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)]
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*)
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4)
Chứng minh tương tự ta được:
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5)
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6)
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) )
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c.
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều
dễ mà bạn . áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số không âm ta có:
a^3+b^3+c^3>=3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)=>a^3+b^3+c^3>=3abc.
dấu bằng xảy ra khi a=b=c. vậy nếu a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c hay tam giac ABC là tam giác đều!!!!!!
bất đẳng thức cô-si là một trong những BĐT cơ bản rất hay sử dụng khi thi HSG toán 8\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)
Chứng minh (\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)=>\(a+b>=2\sqrt{ab}\)=>\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)vậy nhé !!!!
Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: a/b+b/c+c/a ≥ 1/a+1/b+1/c
Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: a^2+ b^2+c^2 =ab+bc+ac. Chứng minh: Tam giác đó đều.
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy tam giác đó là tam giác đều
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\left(1\right)\)
vi \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)
de \(\left(1\right)\) xay ra thi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
\(\Leftrightarrow\)do la tam giac deu
Dài quá, dùng phương pháp hệ số giả định (hình như gọi thế này) là ra ngay:
Gọi a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn : a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều.
C/m \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
+) Từ giải thiết suy ra : \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)( Vì a + b + c > 0 )
+) Biến đổi được kết quả : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)Tam giác đó là tam giác đề ( đpcm 0
Vậy tam giác đó là tam giác đều
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của tam giác nên \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2=0\) (mk lm tắt nhé)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)
Vậy tam giác đó là tam giác đều
mk nhầm chút nhé
Vì a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác nên \(a+b+c\ne0\)
độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là a,b,c .Thỏa mãn điều kiện: (a-b)2 = (b-c)2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.