Giúp mình với

Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường trung trực của AA' Þ MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA' <MA' + MB Þ CA + CB < MA + MB.

Từ A vẽ AH vuông góc với CM cắt BC tại D.

\(\Delta MAH=\Delta MDH\left(cgc\right)\)(tự chứng minh)

\(=>MA=MD\)(2 cạnh tương ứng)

Theo bất đẳng thức tam giác : MD+MB>BD

nên MA+MB>BD (1)

Ta có : BD=BC+CD 

Mà CA=CD(tự chứng minh)nên BD=CA+CB(2)

Từ (1) và (2) => CA+CB<MA+MB

Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Nối MA, ME nên  ∆ ACE cân tại C có CM là đường phân giác nên CM là đường trung trực (tính chất tam giác cân)

⇒ MA = ME (tính chất đường trung trực)

Ta có: AC + BC = CE + BC = BE (1)

MA + MB = ME + MB (2)

Trong ∆ MBE, ta có: BE < MB+ ME (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB.

a) ΔABDΔABD cân tại A => BADˆ=BDAˆBAD^=BDA^ (t/c tam giác cân)

Lại có: BADˆ+DAEˆ=BACˆ=90oBAD^+DAE^=BAC^=90o

BDAˆ+ADEˆ=BDEˆ=90oBDA^+ADE^=BDE^=90o

Do đó, DAEˆ=ADEˆDAE^=ADE^

=> ΔADEΔADE cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

=> AE = ED (t/c tam giác cân) (đpcm)

b) Có: AH // ED (cùng ⊥BC⊥BC)
=> HADˆ=ADEˆHAD^=ADE^ (so le trong)

= DAE (câu a)

=> AD là phân giác HACˆ(đpcm)

Kẻ \(AH\perp MC\)cắt BC ở K

Xét hai tam giác vuông AHC và KHC có:

         HC: cạnh chung

         \(\widehat{ACH}=\widehat{KCH}\)(gt)

Suy ra \(\Delta AHC=\Delta KHC\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow AH=KH\) và AC = KC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông AMH và KMH có:

         MH: cạnh chung

        \(AH=KH\)(cmt)

Suy ra \(\Delta AMH=\Delta KMH\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow AM=KM\)(hai cạnh tương ứng)

Áo dụng BĐT tam giác vào tam giác BMK, ta được: \(BM+MK>BK\)

\(\Rightarrow BM+AM>BC+CK\)

\(\Rightarrow BM+AM>BC+AC\left(đpcm\right)\)