\(b,ĐKXĐ:x>0\)

\(D=2011\sqrt{x}-2+\frac{1}{\sqrt{x}}\)\(=2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\)

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương \(2011\sqrt{x}\)và\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)ta được:

\(2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{2011\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

\(\Leftrightarrow2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\ge2\sqrt{2011}-2\)

\(\Leftrightarrow D\ge2\sqrt{2011}-2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2011\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\left(TMĐK\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A=\frac{2011x+2012\sqrt{1-x^2}+2013}{\sqrt{1-x^2}}\)\(=\frac{2011x+2013}{\sqrt{1-x^2}}+2012\)

\(=\frac{2012\left(x+1\right)+\left(1-x\right)}{\sqrt{1-x^2}}+2012\)\(\ge\frac{2\sqrt{2012\left(x+1\right)\left(1-x\right)}}{\sqrt{1-x^2}}+2012\)

\(\ge\frac{2\sqrt{2012\left(1-x^2\right)}}{\sqrt{1-x^2}}+2012=2\sqrt{2012}+2012\)

\(B=2x+3\sqrt{x}-28\)

Ta có điều kiện: \(x\ge0\)

Do đó \(B\ge2\cdot0+3\cdot0-28=-28\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

\(C=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(C=2011\sqrt{x}-2+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(C\ge2\sqrt{\frac{2011\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}-2=2\sqrt{2011}-2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2011\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)

Đkxđ : \(\frac{-1}{2011}\le x\le\frac{1}{2011}\)
Trước hết ta chứng minh \(a+b=2\)thì GTLN của \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\)
Thật vậy ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\le a+b+2\frac{a+b}{2}=2+2=4\)
Do đó GTLN của \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\)khi \(a=b\)
Áp dụng kết quả trên với \(a=1-2011x,b=1+2011x\)ta có \(a+b=2\)
suy ra \(\sqrt{1-2011x}+\sqrt{1+2011x}\le2\)
Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số không âm  \(\sqrt{x+1}\)và \(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)ta có :
\(\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge2\sqrt{\sqrt{x+1}.\frac{1}{\sqrt{x+1}}}=2\)
Như vậy VP  = VT khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\\\sqrt{1-2011x}=\sqrt{1+2011x}\end{cases}}\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)
Vậy \(x=0\)là nghiệm của phương trình.
 

chụi thôi bạn à

là sao