a, Chỉ ra |OI – OK| < IK < OI + OK => (1) và (k) luôn cắt nhau

b, Do OI=NK, OK=IM => OM=ON

Mặt khác OMCN là hình chữ nhật => OMCN là hình vuông

c, Gọi{L} = KB ∩ MC, {P} = IBNC => OKBI là Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông

=> ∆BLC = ∆KOI

=>  L B C ^ = O K I ^ = B I K ^

mà  B I K ^ + I B A ^ = 90 0

L B C ^ + L B I ^ + I B A ^ = 180 0

d, Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định

=> C cố định và AB luôn đi qua điểm C

Bài 1:

Gọi E là giao điểm của phân giác AD với MN.

Qua E, kẻ đoạn thẳng IJ vuông góc với AD \(\left(I\in AB,J\in AC\right)\)

Gọi H là điểm đối xứng với M qua AD.

Ta thấy rằng \(\widehat{MEI}=\widehat{HEJ}\Rightarrow\widehat{HEJ}=\widehat{JEN}\) hay EJ là phân giác trong góc NEH.

Do \(EJ\perp EA\) nên EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác NEH.

Theo tính chất tia phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

\(\frac{NJ}{HJ}=\frac{EN}{EH}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow\frac{\overline{NJ}}{\overline{NA}}:\frac{\overline{HJ}}{\overline{HA}}=-1\Rightarrow\left(AJNH\right)=-1\)

Áp dụng hệ thức Descartes, ta có \(\frac{2}{AJ}=\frac{1}{AH}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow AJ=\frac{2a}{3}\)

Vậy J cố định, mà AD cố định nên IJ cũng cố định. Vậy thì E cũng cố định.

\(AJ=\frac{2a}{3}\Rightarrow AE=\frac{2.AD}{3}\) hay E là trọng tâm tam giác ABC.

Tóm lại MN luôn đi qua trọng tâm tam giác ABC.

giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2

ô thật là khó

Thôi ko cần nữa ,mik nghĩ ra r

Bạn tự vẽ hình nhé!
Giải

Xét \(\Delta\)OMN có: AQ//OM (gt) nên \(\frac{AQ}{OM}=\frac{NQ}{NO}\)

Tứ giác APOQ là hình bình hành ta có: AQ=OP

\(\Rightarrow\frac{OP}{OM}=\frac{NQ}{NO}\)

Ta có: \(\frac{OP}{OM}+\frac{OQ}{ON}=\frac{NQ}{NO}+\frac{OQ}{ON}=\frac{NQ+OQ}{ON}=\frac{NO}{ON}=1\)

\(\Rightarrow\frac{OP}{OM}+\frac{OQ}{ON}=1\left(đpcm\right)\)

 Xét tứ giác BMOA:

+ BM // OA (b // Oy).

+ AM // OB (a // Ox).

\(\Rightarrow\) Tứ giác BMOA là hình bình hành (dhnb).

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{BOA}\) (Tính chất hình bình hành).

hay \(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{xOy.}\)

a) theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau , ta có :

AM = MB

Mà OA = OB ( = R )

\(\Rightarrow\)OM thuộc đường trung trực của AB

\(\Rightarrow\)OM \(\perp\)AB

b) Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta AOM\),ta có :

\(OE.OM=OA^2=R^2\) ( không đổi i)

c) gọi F là giao điểm của AB với OH

Xét \(\Delta OEF\)và \(\Delta OHM\)có :

\(\widehat{HOE}\left(chung\right)\); \(\widehat{OEF}=\widehat{OHM}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OEF~\Delta OHM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OE}{OH}=\frac{OF}{OM}\Rightarrow OF.OH=OE.OM=R^2\Rightarrow OF=\frac{R^2}{OH}\)

Do đường thẳng d cho trước nên OH không đổi

\(\Rightarrow\)OF không đổi

Do đó đường thẳng AB luôn đi điểm F cố định