x₁ ; x₂ là 2 ngiệm của P(x) => P(x₁) = P (x₂) = 0 

=> ax₁² + bx₁ + c = ax₂² + bx₂ + c = 0  

=> ax₁² + bx₁ + c - ( ax₂² + bx₂ + c) = 0 

<=> a. (x₁² - x²₂ ) + b.(x₁ - x₂)  = 0 <=> a. (x₁ - x₂). (x₁ + x₂) + b.(x₁ - x₂) = 0 

<=>  (x₁ - x₂). [ a.(x₁ + x₂) + b ] = 0 mà x₁ ; x₂ khác nhau nên  a.(x₁ + x₂) + b = 0 => b = - a.(x₁ + x₂)   (*)

+) ax₁² + bx₁ + c =  0  => c = - ( ax₁² + bx₁)  = - x₁. (ax₁ + b)  = - x₁ . (-ax₂)  = ax₁. x₂   (Do (*))

vậy c = ax₁.x₂    (**)

Thay b ; c  từ (*) và (**) vào P(x) ta được P(x) = ax² -ax.(x₁ + x₂) + ax₁.x₂ =  ax² - ax.x₁ - ax.x₂ + ax₁.x₂

= ax. (x - x₁)  - ax₂ . (x - x₁) = (ax - ax₂). (x - x₁) = a. (x - x₂). (x - x₁)  => ĐPCM

Lời giải sẽ dài lắm nhé

x₁,x₂ là hai nghiệm của \(P(x)\)nên :

\(P(x_1)=ax_1^2+bx_1+c=0\)                                                      \((1)\)

\(P(x_2)=ax^2_2+bx^2+c=0\)

\(P(x_1)-P(x_2)=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)

\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)

\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)

Vì x₁ \(\ne\)x₂ nên x₁ - x₂ \(\ne\)0 do đó 

\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Rightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right]\)                                                  \((2)\)

Thế 2 vào 1 ta được :

\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\)

\(\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2\)                                          \((3)\)

Thế 2 vào 3 vào P\((x)\)ta được :

\(P(x)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)

\(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)

\(=a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)

Vậy : ....

x₁,x₂ là hai nghiệm của P(x) nên:

\(P\left[x_1\right]=ax^2_1+bx_1+c=0(1)\)

\(P\left[x_2\right]=ax^2_2+bx_2+c=0\)

\(P\left[x_1\right]-P\left[x_2\right]=a\left[x^2_1-x^2_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)

\(a\left[x_1+x_2\right]\left[x_1-x_2\right]+b\left[x_1-x_2\right]=0\)

\(\left[x_1-x_2\right]\left[a\left\{x_1+x_2\right\}+b\right]=0\)

Vì x₁ \(\ne\)x₂ nên x₁ - x₂ \(\ne0\), do đó :

\(a\left[x_1+x_2\right]+b=0\Leftrightarrow b=-a\left[x_1+x_2\right](2)\)

Thế 2 vào 1 ta được :

\(ax^2_1-a\left[x_1+x_2\right]\cdot x_1+c=0\Rightarrow c=ax_1\left[x_1+x_2\right]-ax^2_1=ax_1x_2(3)\)

Thế 2 và 3 vào P(x) ta được :

P(x) = \(ax^2+bx+c=ax^2-ax\left[x_1+x_2\right]+ax_1x_2\)

       = \(ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left[x_2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right]\)

       = \(a\left[x\left\{x-x_1\right\}-x_2\left\{x-x_1\right\}\right]=a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\)

Vậy P(x) = \(a\left[x-x_1\right]\left[x-x_2\right]\).

\(x_1,x_2\)là hai nghiệm của P(x) nên:

\(P\left(x_1\right)=ax^2_1+bx_1+c=0\)(1)

\(\left(x_2\right)=ax^2_2+bx_2+c=0\)

\(P\left(x_1\right)-P\left(x_2\right)=a\left(x_1^2-x^2_2\right)+b\left(_1^2-x^2_2\right)=0\)

\(a\left(x_1^2+x^2_2\right)\left(x_1^2-x^2_2\right)+b\left(x_1^2-x^2_2\right)=0\)

\(\left(x_1^2-x^2_2\right)\left[a\left(x_1^2+x^2_2\right)+b\right]=0.\)

Vì \(x_1\ne x_2\)nên \(x_1^2-x^2_2=0\)do đó:

\(a\left(x_1^2+x^2_2\right)+b=0\Rightarrow b=-a\left(x_1^2+x^2_2\right)\)(2)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(ax^2_1-a\left(x_1^2+x^2_2\right)x_1+c=0\Rightarrow c=ax_1\left(x_1+x_2\right)-ax^2_1=ax_1x_2\)(3)

Thế (2) và (3) vào P(x) ta được:

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c=ax^2-ax\left(x_1+x_2\right)+ax_1x_2\)

 \(=ax^2-axx_1-axx_2+ax_1x_2=a\left(x^2-xx_1-xx_2+x_1x_2\right)\)

\(=a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\)

Vậy \(P\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\)

Bạn vô câu hỏi tương tự xem nhé.

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

Vì x=1, x=-1 là ngiệm của đa thức f(x) nên

a.1^2+b.1+c=a.(-1)^2+b.(-1)+c=0                 

=>a+b+c=a-b+c=0                             (1)

=>b=-b

=>b=0

thay b=0 vào (1) ta có a+c=0

=>a và c là 2 số đối nhau

k cho mình

Đúng!

very good

Mình làm theo cách lớp 9 :

Áp dụng định lí Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\)

Vì a khác 0 nên ta có :  

\(\frac{Q\left(x\right)}{a}=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-\left(x_1+x_2\right).x+x_1.x_2=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)

\(\Rightarrow Q\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)