Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB,AC tại E,F
a) Chứng minh DE+DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. CMR K là trung điểm của FE
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽđường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
a)Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Talet cho:
Tam giác $CFD$ có $AM\parallel FD$:
$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}(1)$
Tam giác $ABM$ có $ED\parallel AM$:
$\frac{ED}{AM}=\frac{BD}{BM}(2)$
Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{CD}{BC:2}+\frac{BD}{BC:2}=\frac{BC}{BC:2}=2$
$\Rightarrow DE+DF=2AM$
Vì $AM$ không đổi khi $D$ di động nên $DE+DF$ không đổi khi $D$ di động
b) Dễ thấy $KADM$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song. Do đó $KA=DM$
Áp dụng định lý Talet cho trường hợp $AK\parallel BD$:
$\frac{KE}{ED}=\frac{KA}{BD}=\frac{DM}{BD}(3)$
Lấy $(1):(2)$ suy ra $\frac{DF}{ED}=\frac{CD}{BD}$
$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{CD}{BD}-1=\frac{CD-BD}{BD}=\frac{CM+DM-(BM-DM)}{BD}=\frac{2DM}{BD}(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \frac{2KE}{ED}=\frac{EF}{ED}$
$\Rightarrow 2KE=EF\Rightarrow FK=EK$ hay $K$ là trung điểm $EF$
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua D thuộc cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AM cắt AB, AC tại E và F.
a. CMR : DE + DF không đổi khi D di động trên BC
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
a) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song sòng với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽđường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
a)Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
Xem chi tiết
Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM.Qua điểm D thuộc cạnh BC,vẽ đường thẳng song song với AM,cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F
a, Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE+DF có giá trị không đổi
b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC,cắt EF ở K.Chứng minh rằng K là trung điểm của EF
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại Evà F.
a, Chứng minh DE+DF=2AM.
b, Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF.
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D nằm trên cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a. CMR: DE + DF = 2AM.
b. Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. CMR: N là trung điểm của EF.
Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM.Qua điểm D thuộc cạnh BC,vẽ đường thẳng song song với AM,cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F
a, Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE+DF có giá trị không đổi
b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC,cắt EF ở K.Chứng minh rằng K là trung điểm của EF
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D nằm trên cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a. CMR: DE + DF = 2AM.
b. Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. CMR: N là trung điểm của EF.
a) Ta có:
{ DE song song với AM (gt) => DE/ AM = BD / BM (Định lí Thalès)
{ DF song song với AM (gt) => DF / AM = CD / CM (Định lí Thalès)
=> DE / AM + DF / AM = BD / BM + CD / CM
<=> (DE + DF) / AM = BD / (BC/2) + CD / (BC/2) = (BD + CD) / (BC/2)
(Vì AM là trung tuyến trong tam giác ABC => M là trung điểm của BC => BM = CM = BC/2)
<=> (DE + DF) / AM = BC / (BC/2) = 2BC / BC = 2
<=> DE + DF = 2AM (điều phải chứng minh)
b)
- Xét tứ giác ANDM có: AN // DM (gt) và DN // AM (gt)
=> Tứ giác ANDM là hình bình hành => AN = DM
- Ta có: AN // BD (gt)
=> AN / BD = NE / DE (Định lí Thalès)
<=> NE = (DE . AN) / BD
- Ta có: DE + DF = 2AM (cm câu a)
<=> DE + (DE + NE + NF) = 2AM
<=> 2DE + EF = 2AM
<=> EF = 2AM - 2DE = 2(AM - DE)
<=> EF = 2. {[(DE . BM) / BD] - DE} = 2. [(DE . BM - DE . BD) / BD]
(do DE/ AM = BD / BM => AM = (DE . BM) / BD )
<=> EF = 2. [DE . (BM - BD) / BD]
<=> EF = 2. (DE . DM) / BD = 2 . (DE . AN) / BD (vì AN = DM)
<=> EF = 2NE
<=> NE = EF / 2
Vậy N là trung điểm của EF
Đúng 0
Bình luận (0)