Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc=1\) . Chứng minh rằng :
\(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\ge a+b+c\)
Trần Thanh Phương svtkvtm Akai Haruma
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\ge\dfrac{1}{2}\)
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz\left(xy+y+1\right)}+\dfrac{x}{x\left(yz+z+1\right)}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x.xyz+xyz+xz}+\dfrac{x}{xyz+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x+1+xz}+\dfrac{x}{1+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=abc. Chứng minh rằng:
\(\frac{b}{a\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{b\sqrt{c^2+1}}+\frac{a}{c\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c à các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}}{abc}< \sqrt{2}\)
Helpppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Help :(((((((((((((((((((((((((
Cho a,b,c à các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}}{abc}< \sqrt{2}\)
Cho a,b,c à các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}}{abc}< \sqrt{2}\)
Help me
Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
a)\(a^3+b^3+c^3\ge a+b+c\)
b) \(a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2\)
Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c\)
Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\ge\sqrt{82}\)
Không dùng các BĐT cổ điển nha mb
1+1+1+1+1+2=7
đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=P\)
phương pháp khảo sát hàm đặc trưng rất hữu hiệu cho những bài bất đẳng thức đối xứng
bài toán cho f(x)+f(y)-f(z) >= A
tìm min, max của S-g(x)+g(y)+g(z)
*nháp
điều kiện x,y,z thuộc D, dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=z=\(\alpha\). Khảo sát hàm đặc trưng h(t)-g(t)-mf(t) với m=\(\frac{g'\left(\alpha\right)}{f'\left(\alpha\right)}\)sau khi đã tìm được m chỉ cần xét đạo hàm h(t) nữa là xong
ta khảo sát hàm \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}-mx\)
để hàm số có cực tiểu thì f(x)=0 \(\Leftrightarrow\frac{x^4-1}{x^3\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}-m=0\)nhận thấy "=" ở x=\(\frac{1}{3}\)nên m=\(\frac{80}{-\sqrt{82}}\)
xét hàm số đại diện f(t)=\(\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}-\frac{80}{\sqrt{82}}t\)trên (0;1) có f(t)\(\ge f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{162}{3\sqrt{82}}\)
vậy thì \(P\ge-\frac{80}{\sqrt{82}}\left(x+y+z\right)+\frac{162}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\)
bài toán được chứng minh xong
cách khảo hàm mình không chắc chắn lắm nên mình làm theo 1 cách khác nữa!
đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=S\)
đặt \(\overrightarrow{x}=\left(a;\frac{1}{a}\right);\overrightarrow{y}\left(b;\frac{1}{b}\right);\overrightarrow{z}\left(c;\frac{1}{c}\right)\)
ta có \(\left|\overrightarrow{x}\right|+\left|\overrightarrow{y}\right|+\left|\overrightarrow{z}\right|\ge\left|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right|\)nên
\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
ta có \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=81\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-80\left(a+b+c\right)^2\)
\(\ge18\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-80\left(a+b+c\right)^2\ge82\)
=> S\(\ge\sqrt{82}\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 . Chứng minh rằng :
\(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\ge a+b+c\)
Đề thi Olympic 30/4 Môn Toán 2018 lần thứ XXIV
Vài dòng đầu tớ chứng minh BĐT phụ bạn có thể làm trực tiếp luôn nhé ! Dùng phương pháp tiếp tuyến là OK thôi !
Ta dễ có các biến đổi sau:
\(\sqrt{a^2-a+1}\left(a^2+a+1\right)=\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^4+a^2+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left[\left(a^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\)
\(\ge\left(a^2+\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\frac{2a^3+a^2+a+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-a+1}\ge\frac{2a^3+a^2+a+2}{2\left(a^2+a+1\right)}=a-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2+a+1}\right)\)
Chứng minh tương tự ta có được các bất đẳng thức sau:
\(\sqrt{b^2-b+1}=b-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{b^2+b+1};\sqrt{c^2-c+1}=c-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{c^2+c+1}\)
Như vậy ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\) với abc = 1
Đây là BĐT Vacs quen thuộc !!!! Bạn làm câu hỏi của mình có câu trả lời của tth_new có dùng Vacs và mình đã làm rồi nha !!!!!
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)