Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)

Để M là số nguyên thì 12n² + 1  là số chính phương lẻ 
Đặt 12n² + 1 = (2k -1)²   (k \(\in\) N)

<=> 12n² + 1 = 4k² - 4k +1

<=> 12n² = 4k² - 4k 

<=> 3n² = k(k - 1)

=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3

TH1 : k ⋮ 3 => n² =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1)     Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x² => k = 3x²

  và đặt k - 1 = y² => k = y² +1

  => 3x² = y² + 1 = 2 ( mod 3)

  Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1

TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :

  => n² = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\)     Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z² 

=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z² =(2z)² là 1 số chính phương 

 => M là một số chính phương ( đpcm )

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)

\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)

\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)

TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)

Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)

Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)

Ta có đpcm

TH2(tương tự):\(k=3q+1\)

Bước 1: mình chưa hiểu \(M=2+2.\sqrt{12n^2+1}\) Nguyên thì \(\sqrt{12n^2+1}\) phải lẻ nếu chẵn thì sao?

Bài này là đề tuyển sinh vào 10 của hà nội năm 2012 nếu mình không nhớ nhầm.

Bạn tìm trên mạng nhé.

Không thấy bạn ơi

T cũng hỏi câu tương tự.Hài

ai bit giup tui voi

xin loi tui go nham                                                                                                                                                                                                              

biết thì trả lời đi đừng nói linh tinh nữa

Đặt T là số nguyên thì 12n² + 1 là số chính phương lẻ.

Đặt \(12n^2+1=\left(2k-1\right)^2,\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow12n^2+1=4k^2-4k+1\)

\(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)

\(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)

\(\Leftrightarrow k\left(k-1\right)⋮3\Rightarrow k⋮3;k-1⋮3\)

+) Nếu \(k⋮3\Rightarrow n^2=\left(\dfrac{k}{3}\right).\left(k-1\right)\). Mà \(\left(\dfrac{k}{3};k-1\right)=1\)nên đặt \(\dfrac{k}{3}=x^2\Rightarrow k=3x^2\)

Đặt \(k-1=y^2\Rightarrow k=y^2+1\)

\(\Rightarrow3x^2=y^2+1\equiv2\left(mod3\right)\)

Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1.

+) Nếu \(k-1⋮3\)

\(\Rightarrow n^2=\dfrac{k.\left(k-1\right)}{3}\)mà \(\left(k;\dfrac{\left(k-1\right)}{3}\right)=1\)nên đặt k = z² và \(\dfrac{\left(k-1\right)}{3}=t^2\)

\(\Rightarrow T=...=2+2\left(2k-1\right)=4k=4z^2=\left(2z^2\right)\)là 1 số chính phương

=> ĐPCM

Lời giải:

Để \(2+2\sqrt{12n^2+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(12n^2+1\). phải là số chính phương lẻ.

Đặt \(12n^2+1=(2a+1)^2(a\in\mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow 12n^2=4a^2+4a\Leftrightarrow 3n^2=a(a+1)\)

Vì \(a(a+1)=3n^2\vdots 3\) nên xét các TH sau:

TH1: \(a\vdots 3\). Đặt \(a=3k\)

Ta có: \(3n^2=a(a+1)=3k(3k+1)\)

\(\Leftrightarrow n^2=k(3k+1)\)

Dễ thấy $(k,3k+1)=1$ nên để tích của chúng là scp thì bản thân mỗi số đó là scp \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k+1=v^2\end{matrix}\right.\) \((u,v\in\mathbb{Z})\)

\(\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2a+1)=4a+4=4.3k+4\)

\(=4(v^2-1)+4=(2v)^2\) là số chính phương (đpcm)

TH2: \(a+1\vdots 3\). Đặt \(a+1=3k\)

\(\Rightarrow n^2=(3k-1)k\). Dễ thấy $(3k-1,k)=1$ nên \(\left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k-1=v^2\end{matrix}\right.(u,v\in\mathbb{Z})\)

\(\Rightarrow 3u^2-1=v^2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv 2\pmod 3\) (vô lý- loại)

Vậy..........