Trên tia đối AB lấy I sao cho AI = AB 
- Vẽ hình chữ nhật AINC ( IN // AC ; IN = AC )
Do AB = 1/3 AC => AD = AB => AD=AI . Lấy M thuộc IN sao cho IM = AD 
Ta có hình vuông IAMD => IA = IM = MD = DA 
Xét MBI và CMN 
MI=NC (và IANC là hình chữ nhật)
BI=MN ( vì và IA = IM \Rightarrow )
 (gt)
\Leftrightarrow MBI = CMI (c - g - c)
\Rightarrow  ; BM = CM \Rightarrow  BMC cân ở M (|-)1)
Xét BIM và EAB 
AB = MI 
AE = BI 

\Leftrightarrow BIM = EAB (c - g - c)
\Rightarrow  (góc tương ứng)

Ta có:

Mà:  
\Rightarrow  
\Rightarrow BMC vuông ở M -*2)

Từ (|-)1) và -*2) 
\Rightarrow MCB vuông cân ở M 
\Rightarrow  hay  
Lại có:

\Rightarrow  (đpcm)
:-*:-*:-*:-*:-*|-)|-)|-):-SS:-SS

Cách 1: 
Kẻ DM ∟ AC sao cho DM = AB. 
Dễ dàng chứng minh Δ DMC = Δ AEB (c - g - c) 
=> ^DCM = ^AEB và BE = MC (1) 
Δ BMD = Δ BED (c - g - c) 
=> ^BMD = ^BED và BM = BE (2) 
(1) và (2) cho: 
^DCM = ^BMD và CM = MB 
=> Δ BMC cân tại M 
mà ^DMC + ^DCM = 90o (Δ MDC vuông) 
=> ^DMC + ^BMD = 90o 
=> Δ BMC vuông cân. 
=> BCM = 45o 
Mà ^ACB + ^DCM = ^BCM 
=> ^ACB + ^AEB = 45o (vì ^AEB = ^DCM (cmt)) 
Cách 2: 
Đặt AB = a 
ta có: BD = a√2 
Do DE/DB = DB/DC = 1/√2 
=> Δ DBC đồng dạng Δ DEB (c - g - c) 
=> ^DBC = ^DEB 
Δ BDC có ^ADB góc ngoài 
=> ^ADB = ^DCB + ^DBC 
hay ^ACB + ^AEB = 45o 
Cách 3 
ta có: 
tanAEB = AB/AE = 1/2 
tanACB = AB/AC = 1/3 
tan (AEB + ACB) = (tanAEB + tanACB)/(1 - tanAEB.tanACB) 
= (1/2 + 1/3)/(1 - 1/2.1/3) = 1 = tan45o 
Vậy ^ACB + ^AEB = 45o.

BD² = AB² + AD² = 2AD² = 2DE² = DE*(2DE) = DE*DC 
=> DE / BD = BD / DC => 2 ∆ BDE và CDB đồng dạng (góc tại đỉnh D chung) 
=> góc DEB = góc DBC => góc AEB + góc ACB = góc DEB + góc ACB = 
góc DBC + góc ACB = góc ADB (góc ngoài của ∆) = 45° (do ABD vuông cân) 
---- 
Bạn cũng có thể dùng lượng giác: 
α = góc AEB + góc ACB. Có tg(AEB) = AB / AE = 1 / 2, tg(ACB) = AB / AC = 1 / 3 
Sử dụng tg(α1 + α2) = (tgα1 + tgα2) / (1 - tgα1*tgα2) sẽ có tgα = 1 => α = 45°