Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(6a+\sqrt{3}b+\sqrt[3]{2}c=3\)
Tính Min M = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}\)
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca =3
Tìm Min \(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)
Có lẽ là BĐT Cô-si
cứ cho a,b,c>0 thì phải nghĩ ngay đến BĐT cô-si
\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+bc+ca+ab}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ca+ab+bc}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{\sqrt{c}\cdot\sqrt{c}}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a}}\cdot\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+b}}\)
\(\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}+\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}}{2}+\frac{\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}}{2}\)
\(=\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy Max A = 3/2 khi a = b = c = 1. (Max not Min)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(a+b+c\le\sqrt{3}\) Tính giá trị lớn nhất của \(M=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)
Thay vào M ta có: \(M\le\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Xét: \(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)^2\ge\frac{4a^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\ge\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Tương tự rồi cộng vế vs vế ta được: \(M\le\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn\(a+b+c\le\frac{3}{2}\). CMR \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge2ax+2by\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunyakovsky nên (*) đúng
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
Ta cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{153}{4}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết \(a+b+c\le\frac{3}{2}\), ta được:\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}=\frac{153}{4}\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1
CMR B=\(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
1,Giải hệ \(\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20\end{cases}}\)
2,Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1\)
Tìm \(P_{min}=\frac{a^6}{a^3+b^3}+\frac{b^6}{b^3+c^3}+\frac{c^6}{c^3+a^3}\)
\(1,\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\left(1\right)\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (1) : \(10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\)
\(\Leftrightarrow10x^2-2x\left(y+19\right)+5y^2-6y+41=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x
Có \(\Delta'=\left(y+19\right)^2-50y^2+60y-410\)
\(=-49y^2+98y-49\)
\(=-49\left(y-1\right)^2\)
pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow-49\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow y=1\)
Thế vào pt (2) được x = 2
\(2,\)Đặt\(\left(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>0\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Khi đó \(P=\frac{x^4}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{y^2+z^2}+\frac{z^4}{x^2+z^2}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\left(Cauchy-engel-type_3\right)\)được
\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
Áp dụng bđt x2 + y2 + z2 > xy + yz + zx (tự chứng minh) ta được
\(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{xy+yz+zx}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=1\\x=y=z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^3}=\sqrt{b^3}=\sqrt{c^3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Câu đầu thử xét delta đi rồi dùng công thức nghiệm sẽ tìm đc mối liên hệ x, y -> dễ
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 2
CM: \(\sqrt[3]{\frac{1}{a}}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}}\ge\frac{3\sqrt[3]{12}}{2}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow x^3+y^3+z^3=2\)
Ta có: \(x^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge3\sqrt[3]{x^3.\frac{4}{9}}=\sqrt[3]{12}x\)
Tương tự: \(y^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge\sqrt[3]{12}y\); \(z^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge\sqrt[3]{12}z\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+4\ge\sqrt[3]{12}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{6}{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[3]{18}\)
Ta có: \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\ge\frac{9}{\sqrt[3]{18}}=\frac{3\sqrt[3]{12}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\) hay \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1
tìm gtln của P =\(\frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^2+3}}\)
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(P^2\le3\left(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\right)\)
Áp dụng bđt cô si, ta có
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
tương tự với mấy cái kia =>\(P^2\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
mà với abc =1, thì bạn sẽ chứng minh được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
phân thức thứ 1 để nguyê, phân thức thứ 2 nhân với ab, phân thức thứ 3 nhân với b, rồi chỗ napf có abc thì thay abc=1
thì bạn sẽ chứng minh được cái kia=1
=>\(P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
dâu = xảy ra <=>a=b=c=1
Dễ thấy theo AM - GM :
\(\frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+b\right)+\left(b^2+1\right)+2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab+2b+2}}\)
\(\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{3}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{3}\right);\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ca+a^2+1}+\frac{1}{3}\right)\)
Cộng lại ta sẽ có đpcm
Vì dễ thấy \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\) với abc=1
Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\)