Cho tam giác ABC nhọn. C/m
a/ Stam giác ABC = \(\frac{1}{2}\).AC.AB.sin A
b/ D \(\in\) AB, E \(\in\) AC. C/m \(\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}\) = \(\frac{AC.AB}{AD.AE}\)
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ hai đường cao BD, CE (D ∈ AC ; E ∈ AB)
a) CM: tam giác ADB đồng dạng c=vs tam giác AEC
b)Cho số đo góc BAC = 45⁰ . Tính tỉ số \(\frac{S_{AED}}{S_{ }_{ }_{ABC}}\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a)CMR:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
b)CMR:\(S_{DÈF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right)S_{ABC}\)
c)Cho biết AH=k.HD. CMR: \(\tan B.\tan C=k+1\)
d)CMR:\(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\)
2. Cho tam giác ABC đều, cạnh a. Trên tia đối của tia AB, CA, BC lần lượt lấy D, E,F sao cho AD = \(\frac{1}{2}\)AB ; CE = \(\frac{1}{2}BC\); BF = \(\frac{1}{2}\)BC.
a) Tính diện tích ABC.
b) C/ m tam giác DEF đều
c) Tính tỉ số của \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}\)
2. Cho tam giác ABC đều, cạnh a. Trên tia đối của tia AB, CA, BC lần lượt lấy D, E, F sao cho AD = \(\frac{1}{2}\)AB , CE = \(\frac{1}{2}\)AC, BF = \(\frac{1}{2}\)BC.
a) Tính SABC
b) Chứng minh tam giác DEF đều
c) Tính tỉ số của \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}\)
a) Tam giác ABC đều => Kẻ AH vuông góc với BC thì H là trung điểm của BC => BH = BC/2 = a/2
Tính được AH theo định lý Pytago: AH = a3√2
=> Diện tích của tam giác ABC là: 12.a3√2.a=a23√4
b) Xét các cặp tam giác bằng nhau dựa trên tam giác ABC đều vào tỉ số đề bài cho (CGC) em sẽ => Tam giác DEF có 3 cạnh bằng nhau => tam giác đều
c) Tam giác DEF và tam giác ABC đồng dạng
=> SDEF/SABC = (DE/AB)2
cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) và trung tuyến AD. Kẻ đường thẳng vuông góc với Ad tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.
a) cm: tam giác DCE đồng dạng tam giác DFB
b) cm: AE.AC=AB.AF
c) đường cao AH của tam giác ABC cắt EF tại I. Cmr:\(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\left(\frac{AD}{AI}\right)^2\)giúp mình câu c gấp!!
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a, Cmr : \(\Delta AEF\sim\Delta ABC;\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
b, Cmr : \(S_{DEF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}\)
c, Cmr :\(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge3\)
a) \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90o\) => tứ giác BFEC nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC;}\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)=> \(\Delta AEF~\Delta ABC\)
SAEF = \(\frac{1}{2}AE.AF.sinA\); SABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AF}{AB.AC}\)=cos2A (cosA = \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\))
b) làm tương tự câu a ta được SBFD=cos2B.SABC; SCED=cos2C.SABC
=> SDEF =SABC-SAEF-SBFD-SCED = (1-cos2A-cos2B-cos2C)SABC
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB. Gọi D, E, F lần lượt là trực tâm của các tam giác AB1C1, A1BC1, A1B1C. Chứng minh rằng \(S_{A_1EC_1DB_1F}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
Hay :))
\(\Delta ABC\) có \(C_1\) là trung điểm của \(AB\) và \(B_1\) là trung điểm của \(AC\) nên \(B_1C_1\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\)\(B_1C_1=\frac{1}{2}BC=A_1B=A_1C\)
Và \(B_1C_1//BC\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{AC_1B_1}=\widehat{C_1BA_1}\) ( hai góc đồng vị )
Xét \(\Delta AB_1C_1\) và \(\Delta A_1BC_1\) có :
\(AC_1=BC_1\) \(\left(GT\right)\)
\(\widehat{AC_1B_1}=\widehat{C_1BA_1}\) ( chứng minh trên )
\(B_1C_1=A_1B\) ( chứng minh trên )
Do đó : \(\Delta AB_1C_1=\Delta A_1BC_1\) \(\left(c-g-c\right)\)
Chứng minh tương tự với các \(\Delta AB_1C_1\) và \(\Delta A_1B_1C\)\(;\)\(\Delta A_1BC_1\) và \(\Delta A_1B_1C\)\(;\)\(\Delta A_1BC_1\) và \(\Delta A_1B_1C_1\) ta có :
\(\Delta AB_1C_1=\Delta A_1BC_1=\Delta A_1B_1C=\Delta A_1B_1C_1\)
Mà \(S_{AB_1C_1}+S_{A_1BC_1}+S_{A_1B_1C}+S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\)\(S_{AB_1C_1}+S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
Bài toán trở thành Chứng minh \(S_{A_1EC_1DB_1F}=S_{AB_1C_1}+S_{A_1B_1C_1}\)
Do 4 tam giác bằng nhau nên các tam giác tạo từ các đường cao của chúng tương ứng bằng nhau
\(\Rightarrow\)\(\Delta C_1EA_1=\Delta ADB_1\)\(;\)\(\Delta B_1FA_1=\Delta ADC_1\)
Mà \(S_{A_1EC_1DB_1F}=S_{C_1EA_1}+S_{B_1FA_1}+S_{C_1DB_1}+S_{A_1B_1C_1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(S_{A_1EC_1DB_1F}=\left(S_{ADB_1}+S_{ADC_1}+S_{C_1DB_1}\right)+S_{A_1B_1C_1}=S_{AB_1C_1}+S_{A_1B_1C_1}\) ( điều phải chứng minh )
...
Gọi H là trực tâm của \(\Delta\)A1B1C1.
Ta thấy: \(\Delta\)ABC có A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB
Cho nên: \(S_{A_1B_1C_1}=S_{AB_1C_1}=S_{BA_1C_1}=S_{CA_1B_1}=\frac{S_{ABC}}{4}\). Ta đi chứng minh \(S_{A_1EC_1DB_1F}=2S_{A_1B_1C_1}\)
Xét \(\Delta\)A1B1C1: H là trực tâm => A1H vuông góc B1C1. Mà B1C1 // BC => A1H vuông góc BC
Nhưng: C1E cũng vuông góc BC nên A1H // C1E. Tương tự: C1H // A1E
Do đó: Tứ giác A1HC1E là hình bình hành => \(S_{A_1HC_1}=S_{A_1EC_1}=\frac{S_{A_1HC_1E}}{2}\)
Tương tự, ta có: \(S_{A_1HB_1}=S_{A_1FB_1}=\frac{S_{A_1HB_1F}}{2};S_{B_1HC_1}=S_{B_1DC_1}=\frac{S_{B_1HC_1D}}{2}\)
\(\Rightarrow S_{A_1HC_1}+S_{A_1HB_1}+S_{B_1HC_1}=\frac{S_{A_1EC_1DB_1F}}{2}\Rightarrow S_{A_1EC_1DB_1F}=2.S_{A_1B_1C_1}=2.\frac{S_{ABC}}{4}=\frac{S_{ABC}}{2}\) (đpcm).
(P/S: Các bn có thể tham khảo thêm cách này)
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên AB,AC lấy điểm M,N sao cho AM=AN=AH.Chứng minh rằng \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\le\frac{1}{2}\)
Gọi I là trung điểm của BC
Xét tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên \(AI=\frac{1}{2}BC\)
Theo quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có \(AH\le AI\Rightarrow AH\le\frac{1}{2}BC\)\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}\le\frac{1}{2}\)(1)
Ta có \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AN}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{AH^2}{AH.BC}=\frac{AH}{BC}\)(2)
Từ (1) (2) suy ra \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\le\frac{1}{2}\)
không rãnh chút nào, bận rộn muốn sỉu. đây là bất đắc dĩ thôi
cho tam giác ABC vuông cân tại A. Dựng tam giác DEF vuông cân tại D có D thuộc AB, E thuộc AC, F thuộc BC. chứng minh: \(_{S_{DEF}=\frac{1}{5}S_{ABC}}\)