a) Xét các trường hợp p nguyên tố: 

* Xét p = 2 thì p² + 8 = 2² + 8 = 12 (không là số nguyên tố, loại)

* Xét p = 3 thì p² + 8 = 3² + 8 = 17 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó p² + 2 = 3² + 2 = 11 (là số nguyên tố, đpcm)

* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)

+) Nếu p = 3k + 1 thì p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 6k + 9 = 3 (3k²  + 2k + 3)\(⋮\)3 mà 3 (3k² +2k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

+) Nếu p = 3k + 2 thì p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 12k + 12 = 3 (3k²  + 6k + 4)\(⋮\)3 mà 3 (3k²  + 6k + 4) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

Vậy nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 là số nguyên tố (đpcm)

b) Xét các trường hợp p nguyên tố: 

* Xét p = 2 thì 8p² + 1 = 8.2² + 1 = 33 (không là số nguyên tố, loại)

* Xét p = 3 thì 8p² + 1 = 8.3² + 1 = 73 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7 (là số nguyên tố, đpcm)

* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)

+) Nếu p = 3k + 1 thì 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 = 8(9k² + 6k + 1) + 1 = 3(24k² + 16k + 3)\(⋮\)3 mà 3(24k² + 16k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

+) Nếu p = 3k + 2 thì 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 = 8(9k² + 12k + 4) + 1 = 3(24k² + 32k + 11)\(⋮\)3 mà 3(24k² + 32k + 11) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

Vậy nếu p và 8p² + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 là số nguyên tố (đpcm)

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(a,b)$

$\Rightarrow a\vdots d; b\vdots d$

$\Rightarrow a+b\vdots d\Rightarrow p\vdots d$
Mà $p$ là snt nên $d=1$ hoặc $d=p$

Nếu $d=p$ thì $a\vdots p\Rightarrow a\vdots a+b$ (vô lý với mọi $a,b$ là số nguyên dương.

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow a,b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mình cũng ghặp câu này nhưng k pt trả lời Đang ôn thi học kỳ đây

a) Gọi d là ƯC( 7n + 10 ; 5n + 7 ) 

=> \(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(7n+10\right)⋮d\\7\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

=> ( 35n + 50 ) - ( 35n + 49 ) chia hết cho d

=> 35n + 50 - 35n - 49 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN( 7n + 10 ; 5n + 7 ) = 1

=> 7n + 10 ; 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

b) Gọi d là ƯC( 2n + 3 ; 4n + 8 )

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)

=> ( 4n + 8 ) - ( 4n + 6 ) chia hết cho d

=> 4n + 8 - 4n - 6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d ∈ { 1 ; 2 }

Với d = 2 => \(2n+3⋮̸̸d\)

=> d = 1

=> ƯCLN( 2n + 3 ; 4n + 8 ) = 1

=> 2n + 3 ; 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau ( đpcm )