lấy bút xóa mà xóa hết là khỏe

\(botay.com.vn\)

giai dum cai dang can gap

Ta có : 

\(1>\frac{1}{10}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(............\)

\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\Rightarrow\)\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Do từ \(1\) đến \(100\) có \(100-1+1=100\) số tự nhiên nên có \(100\) phân số \(\frac{1}{\sqrt{100}}\) ta được : 

\(A>100.\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{\sqrt{100}}=\frac{100}{10}=10\)

\(\Rightarrow\)\(A>10\) ( đpcm ) 

Vậy \(A>10\)

Chúc bạn học tốt ~ 

dùng bđt cauchy chứng minh biểu thức trên >=2 rồi chứng minh dấu = không xảy ra

C, d của VT đâu b

Đặt a-1=x, b-1=y (\(x,y>\frac{\sqrt{5}-3}{2}\))

=> \(xy=1\)

VT= \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+x}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+y}=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}+1\right)^2+\frac{1}{y}}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+y}=\frac{y^2+1}{\left(y+1\right)^2+y}\)\(=\frac{2}{5}-\frac{3\left(y-1\right)^2}{\left(y+1\right)^2+y}\ge\frac{2}{5}\)(do \(\left(y+1\right)^2+y=b^2+b-1>0\))

Dấu bằng khi \(x=y=1\)=> \(a=b=2\)

đơn giản hơn cách của quý đây

a+b=ab => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{y}=b\)

Khi đó \(\frac{1}{a^2+a-1}=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}-1}=\frac{x^2}{1+x-x^2}\)

Chứng minh tương tự với b

=> Đặt A=\(\frac{1}{a^2+a-1}+\frac{1}{b^2+b-1}=\frac{x^2}{1+x-x^2}+\frac{y^2}{1+y-y^2}\)

Cauchy-Schwarz và nhớ: x+y=1 và x²+y² >=1/2

OK

Từ giả thiết : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow xy+yz+zx=xyz\)

Ta có : \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Vì hai vế luôn dương nên ta bình phương hai vế được : 

\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\ge\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

Xét \(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)

\(=\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)

Xét \(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

\(=xyz+\left(x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Suy ra : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)

\(\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (*)

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 

\(\sqrt{\left(x+yz\right)}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\) (1)

\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)(2)

\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)(3)

Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được (*) đúng

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

chịu thua